Тропическая геометрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Тропическая прямая на плоскости

Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.[1]

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе[1] — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона[pt][2][3][4], исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации[5].

Основные понятия[править | править исходный текст]


x \oplus y = \max(x,y), \quad x\odot y = x+y.
  • Тропический многочлен степени d на плоскости — кусочно-аффинная функция вида

f(x,y) = \bigoplus_{i+j\le d} \,a_{i,j} \odot x^{\odot i} \odot y^{\odot j} = \max_{i+j\le d} (ix + jy + a_{i,j}).

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида


f(x_1,\dots,x_n) = \bigoplus_{|J|\le d} \,a_{J} \odot x^{\odot J} = \max_{|J|\le d} \, (a_{J}+ \sum_i J_i x_i).
  • Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену f степени d — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции f. Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней (i,j) и (i',j'), снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей i-i' и j-j'.
  • В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки (x_0,y_0) и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]