Тропическая геометрия

Тропическая прямая на плоскости

Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона^[pt], исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации.

Основные понятия

• Тропическое полукольцо (или тропическое полуполе) — множество вещественных чисел $\R$, снабжённое операциями тропического сложения $\oplus$ и тропического умножения $\odot$

$x \oplus y = \max(x,y), \quad x\odot y = x+y.$

• Тропический многочлен степени $d$ на плоскости — кусочно-аффинная функция вида

$f(x,y) = \bigoplus_{i+j\le d} \,a_{i,j} \odot x^{\odot i} \odot y^{\odot j} = \max_{i+j\le d} (ix + jy + a_{i,j}).$

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида

$f(x_1,\dots,x_n) = \bigoplus_{|J|\le d} \,a_{J} \odot x^{\odot J} = \max_{|J|\le d} \, (a_{J}+ \sum_i J_i x_i).$

• Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену $f$ степени $d$ — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции $f$. Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней $(i,j)$ и $(i',j')$, снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей $i-i'$ и $j-j'$.
• В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки $(x_0,y_0)$ и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

Литература

• Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropical algebraic geometry. — Basel: Springer, 2009. — viii+104 с. — (Oberwolfach Seminars).
• М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.