Универсальная тригонометрическая подстановка

Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Подстановка

Рассмотрим задачу нахождения первообразной рациональной функции от синуса и косинуса. Заменим sin x, cos x и дифференциал dx рациональными функциями от переменной t, и их произведением дифференциал dt, следующим образом:

$\begin{align} \sin x & = \frac{2t}{1 + t^2} \\[8pt] \cos x & = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\[8pt] dx & = \frac{2 \, dt}{1 + t^2} \end{align}$

для значений x, лежащих в интервале

$-\pi < x < \pi. \,$

Введение обозначений

Примем, что переменная t равна тангенсу половинного угла:

$t = \operatorname{tg} \frac{x}{2}.$

В интервале −π < x < π, это даёт

$x = 2 \operatorname{arctg}(t), \,$

и после дифференцирования получаем

$dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2}.$

Формула тангенса половинного угла даёт для синуса

$\begin{align} \sin x = \sin\left(2 \operatorname{arctg}(t) \right) & = 2\sin(\operatorname{arctg}(t))\cos(\operatorname{arctg}(t)) \\[6pt] & = 2\,\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\, \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{2t}{1+t^2}, \end{align}$

и для косинуса формула даёт

$\begin{align} \cos x = \cos\left(2 \operatorname{arctg}(t) \right) & = \cos^2(\operatorname{arctg}(t)) - \sin^2(\operatorname{arctg}(t)) \\[6pt] & = \left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 - \left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)^2 = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}. \end{align}$

Примеры

Первый пример

Найдём интеграл

$\int \frac{1}{3 - 5\cos x} \, dx.$

Используя подстановку Вейерштрасса, получаем

$\int \frac{1}{3 - 5\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)} \cdot \frac{2 \, dt}{1 + t^2} = \int \frac{dt}{4t^2 - 1} = \int \frac{dt}{(2t - 1)(2t + 1)}.$

Чтобы вычислить последний интеграл, используем разложение дробей:

$\begin{align} & {} \quad \int \left(\frac{1/2}{2t-1} - \frac{1/2}{2t+1}\, \right) dt \\[6pt] & = \frac14 \ln\left| 2t-1 \right| - \frac14 \ln\left| 2t+1 \right| + \text{constant} = \frac14 \ln\left| \frac{2t-1}{2t+1} \right| + \text{constant} \\[6pt] & = \frac14 \ln \left| \frac{2 \operatorname{tg} \left(\frac x2\right) - 1}{2 \operatorname{tg} \left(\frac x2\right) + 1} \right| + \text{constant}. \end{align}$

Далее, согласно формуле тангенса половинного угла, можно заменить tg(x/2) на sin x/(1 + cos x), и тогда получаем

$\frac14 \ln \left| \frac{2\sin x - 1 - \cos x}{2\sin x + 1 + \cos x} \right| + \text{constant},$

или так же мы можем заменить tg(x/2) на (1 − cos x)/sin x.

Второй пример: определённый интеграл

Разница между определённым и неопределённым интегрированием состоит в том, что при вычислении определённого интеграла нам не обязательно преобразовывать полученную функцию от переменной  t обратно к функции от переменной x, если корректно изменить пределы интегрирования.

Например,

$\int_0^{\pi/6} \frac{1}{5 + 4\sin x} \, dx = \int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{2t}{1 + t^2}\right)} \, \frac{2 \, dt}{1 + t^2}$

Если x изменяется от 0 до π/6, sin x изменяется от 0 до 1/2. Это означает, что величина 2t/(1 + t²), равная sin  изменяется от 0 до 1/2. Тогда можно найти пределы интегрирования по переменной t:

$\frac{2t}{1+t^2} = \frac12,$

перемножая обе части уравнения на 2 и на (1 + t²), получаем:

$1 + t^2 = 4t. \,$

Решая квадратное уравнение, получаем два корня

$t = 2 \pm \sqrt{3}. \,$

Возникает вопрос: какой из этих двух корней подходит для нашего случая? Ответить на него можно, рассмотрев поведение

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

как функцию от x и как функцию от t. Когда x изменяется 0 до π, функция sin x изменяется от 0 до 1, и потом назад до  0. Эта функция проходит через значение 1/2 дважды — при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении от 1 до 0. Когда t изменяется от 0 до ∞, функция 2t/(1 + t²) изменяется от 0 до 1 (когда t = 1) и потом обратно до to 0. Она проходит значение 1/2 при изменении от 0 до 1 и при обратном изменении: первый раз при t = 2 − √3 и потом опять при t = 2 + √3.

Произведя несложные алгебраические преобразования, получим

$\int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{2 \, dt}{5(1+t^2) + 4(2t)} = \int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{2 \, dt}{5t^2 + 8t + 5}$

Выделяя полный квадрат (англ.), получаем

$\int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{2 \, dt}{5\left(t+\frac45 \right)^2 + \frac95} = \int_0^{2-\sqrt{3}} \frac{ \frac{10}{9}\,dt}{\left(\frac{5t+4}{3}\right)^2 + 1}.$

Введём новую переменную

$\begin{align} u & = \frac{5t+4}{3}, \\[8pt] du & = \frac{5}{3}\,dt, \\[8pt] \end{align}$

Отсюда

$u = \frac{4}{3}$

при $t = 0,$

и предел интегрирования будет

$u = \frac{14 - 5\sqrt{3}}{3}$

так как выше было определено, что

$t=2-\sqrt{3}.$

Тогда интегрирование даёт

$\begin{align} & {} \quad \int_{4/3}^{(14-5\sqrt{3})/3} \frac{\frac23\,du}{u^2 + 1} = \left.\frac23 \operatorname{arctg} (u) \right|_{u=4/3}^{u=(14-5\sqrt{3})/3} \\[10pt] & = \operatorname{arctg} \left(\frac{14 - 5 \sqrt{3}}{3}\right) - \operatorname{arctg}\left(\frac{4}{3}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{42 - 15\sqrt{3}}{121}\right). \end{align}$

На последнем шаге использовано известное тригонометрическое тождество

$\operatorname{arctg}(p) - \operatorname{arctg}(q) = \operatorname{arctg}\left(\frac{p-q}{1+pq}\right).$

Третий пример

Подстановку Вейерштрасса можно использовать при нахождении интеграла от секанса:

$\int \sec x \, dx.$

Имеем

$\int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{\left(\frac{2\,dt}{1+t^2}\right)}{\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)} = \int \frac{2\,dt}{1-t^2} = \int \frac{2\,dt}{(1-t)(1+t)}.$

Как и в первом примере, используем разложение дроби:

$\begin{align} & {} \quad \int \left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right) \, dt = -\ln\left|1-t\right| + \ln\left|1+t\right| + C = \ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C \\[10pt] & = \ln\left|\frac{1+t^2}{1-t^2} + \frac{2t}{1-t^2} \right| + C = \ln\left|\sec x + \operatorname{tg} x\right| + C. \end{align}$

Линейное преобразование дробей

Два компонента

$\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}$

являются соответственно действительной и мнимой частями числа

$\frac{i - t}{i + t}$

(считаем, что t действительное).

Ссылки

• Подстановка Вейерштрасса на сайте PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Weierstrass Substitution." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.  (англ.)