Стереографическая проекция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Карта поверхности Земли в стереографической проекции

Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

Определение[править | править исходный текст]

Стереографическая проекция

Плоскость касается сферы в некоторой точке \,O (на приведённом рисунке это южный полюс сферы), центром проекции является точка \,O', диаметрально противоположная \,O (на рисунке точка \,O' — северный полюс сферы). Через каждую точку A \neq O' сферы проходит единственная прямая, соедининяющая \,A и \,O'. Эта прямая пересекает плоскость в единственной точке \,B, которая, таким образом, является образом точки \,A при стереографической проекции. В результате получается взаимно однозначное отображение сферы с выколотой точкой \,O' на плоскость.

Для того, чтобы получить взаимно однозначное отображение целой сферы, нужно дополнить плоскость элементом, являющимся образом выколотой точки \,O'. Этот элемент — так называемая бесконечно удалённая точка, обозначаемая символом \infty. Плоскость, дополненная элементом \infty, называется расширенной плоскостью. Стереографическая проекция целой сферы на расширенную плоскость является гомеоморфным отображением, при стремлении прообраза \,A \to O' его образ \,B \to \infty.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Стереографическая проекция является конформным отображением — она сохраняет углы между кривыми и форму бесконечно малых фигур. Стереографическая проекция переводит окружности на плоскости в окружности на сфере, а прямые на плоскости — в окружности, проходящие через центр проекции O'.
  • Стереографическая проекция отображает сопряжённые пучки меридианов и параллелей на сфере в сопряжённые эллиптический и гиперболический пучки окружностей на плоскости.
  • Стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм комплексной проективной прямой \mathbb{C} \mathrm{P}^1 на двумерную сферу: для этого нужно рассмотреть двумерную (над полем \mathbb{R}) вещественную плоскость с координатами x,y как одномерную (над полем \mathbb{C}) прямую комплексного переменного z=x+iy.

Обобщение на высшие размерности[править | править исходный текст]

Стереографическая проекция приложима к n-сфере Sn в (n + 1)-мерном евклидовом пространстве En + 1. Если Q — точка на Sn и Eгиперплоскость в En + 1, то стереографической проекцией точки PSn − {Q} является точка P пересечения линии \scriptstyle\overline{QP} с E.

Обобщенная стереографическая проекция используется, например, для графического представления 3-сферы и расслоения Хопфа.

История[править | править исходный текст]

Стереографическая проекция была открыта Аполлонием Пергским ок. 200 года до н. э. Свойства этой проекции были описаны Клавдием Птолемеем в трактате «Планисферий». Античные астрономы использовали стереографическую проекцию для изображения небесной сферы на плоскости в астролябии.

Сферическая панорама в стереографической проекции

В фотографии[править | править исходный текст]

Стереографическая проекция используется для отображения сферических панорам. Это приводит к интересным результатам: области, удалённые от центра проекции, сильно растягиваются, производя так называемые «эффекты маленькой планеты». В сравнении с другими азимутальными проекциями, стереографическая обычно производит самые приятные на вид панорамы; это связано с точной передачей форм в результате конформности проекции.

В кристаллографии[править | править исходный текст]

Стереографическая проекция применяется для наглядного изображения точечных групп симметрии кристаллов.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые_встречи_с_геометрией_1978. — Москва «Наука», 1978. — P. 225. (стр. 186)

Ссылки[править | править исходный текст]