Квадратное уравнение

Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.$

Коэффициент с называется свободным членом этого уравнения.

Поделив уравнение общего вида на a, можно получить так называемое приведённое квадратное уравнение:

$x^2 + px + q = 0, \quad p=\frac{b}{a}, \quad q=\frac{c}{a}.$

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня. (См. изображение справа.)

Если коэффициент а положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент b положительный (при положительном a, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Получение формулы для решения

Формулу можно получить следующим образом:

$ax^2 + bx + c = 0,$

$ax^2 + bx =-c$

Умножаем каждую часть на $4a$ и прибавляем $b^2$:

$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = -4ac + b^2$

$(2ax + b)^2 = -4ac + b^2$

$2ax + b = \pm\sqrt{-4ac + b^2}$

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами $a,~b,~c$ может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта $D=b^2 - 4ac:$

• при $D > 0$ корней два, и они вычисляются по формуле

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a};$       (1)

• при $D = 0$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  $x = \frac{-b}{2a};$

• при $D < 0$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-b^2+4ac}}{2a}.$

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2-ac}}a,$

где $k=b/2.$ Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном $b$, то есть для уравнений вида $ax^2 + 2kx + c = 0.$

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0,$ в котором старший коэффициент $a$ равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

$x_{1,2}= -\frac p2 \pm \sqrt{\left( \frac p2 \right)^2-q}.$

Если уравнение записать в виде $x^2 + 2px + q = 0$, то формула будет ещё проще:

$x_{1,2}= -p \pm \sqrt{p^2-q}.$

Мнемонические правила

• Из «Радионяни»:

  «Минус» напишем сначала,
  Рядом с ним p пополам,
  «Плюс-минус» знак радикала,
  С детства знакомого нам.

  Ну, а под корнем, приятель,
  сводится всё к пустяку:
  p пополам и в квадрате
  Минус прекрасное q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

  p, со знаком взяв обратным,
  на два мы его разделим,
  и от корня аккуратно
  знаком «минус-плюс» отделим.

  А под корнем очень кстати
  половина p в квадрате
  минус q — и вот решенья,
  то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна коэффициенту $p$, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену $q$:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad\qquad x_1x_2 = q.$

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$):

$x_1 + x_2 = -b/a, \qquad\qquad x_1x_2 = c/a.$

Мнемоническое правило

Познакомили поэта
С теоремою Виета
Оба корня он сложил
минус p он получил
а корней произведенье
дает q из уравнения

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

$~ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

For the quadratic function:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) of a real variable x, the x-coordinates of the points where the graph intersects the x-axis, x = −1 and x = 2, are the solutions of the quadratic equation: x² − x − 2 = 0.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида $a \cdot f^2(x) + b \cdot f(x) + c = 0$ является уравнением, сводящимся к квадратному. В общем случае оно решается заменой $f(x)=t, t \in E(f)$ c последующим решением квадратного уравнения$a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0$.

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений $f(x) = \frac {-b - \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a}$ и $f(x) = \frac {-b + \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}} {2a}$

Если $f(x)=x^2$, то уравнение принимает вид:

$ax^4+bx^2+c=0$

Такое уравнение называется биквадратным.

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

$y'' + py' + qy = 0$

подстановкой $y = e^{kx}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

$k^2 + pk + q = 0$

Если решения этого уравнения $k_1$ и $k_2$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

$y = Ae^{k_1 x} + Be^{k_2 x}$, где $A$ и $B$ — произвольные постоянные.

Для комплексных корней $k_{1,2} = k_r \pm k_i i$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

$y = e^{k_r x} \left( A\cos{k_i x} + B\sin{k_i x} \right) = Ae^{k_r x} \cos(k_i x + \varphi)$

Если решения характеристического уравнения совпадают $k_1 = k_2 = k$, общее решение записывается в виде:

$y = Axe^{kx} + Be^{kx}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. QuadraticEquation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• * Решение квадратных уравнений онлайн [1], [2], [3], [4],