Квадратное уравнение
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида
Коэффициент с называется свободным членом этого уравнения.
Поделив уравнение общего вида на a, можно получить так называемое приведённое квадратное уравнение:
Содержание |
[править] Геометрический смысл
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня. (См. изображение справа.)
Если коэффициент а положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент b положительный (при положительном a, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.
[править] Получение формулы для решения
Формулу можно получить следующим образом:
Умножаем каждую часть на
и прибавляем
:
[править] Уравнение с вещественными коэффициентами
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами
может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта 
- при
корней два, и они вычисляются по формуле
(1)
- при
корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
- при
вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
[править] Другие записи решений
Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение
где
Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном
, то есть для уравнений вида 
[править] Приведённое квадратное уравнение
Квадратное уравнение вида
в котором старший коэффициент
равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
Если уравнение записать в виде
, то формула будет ещё проще:
[править] Мнемонические правила
- Из «Радионяни»:
- «Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.- Ну, а под корнем, приятель,
сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное[1] q.
- Ну, а под корнем, приятель,
- «Минус» напишем сначала,
- Из «Радионяни» (другой вариант):
- p, со знаком взяв обратным,
на два мы его разделим,
и от корня аккуратно
знаком «минус-плюс» отделим.- А под корнем очень кстати
половина p в квадрате
минус q — и вот решенья,
то есть корни уравненья.
- А под корнем очень кстати
- p, со знаком взяв обратным,
[править] Уравнение с комплексными коэффициентами
В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).
[править] Теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения
равна коэффициенту
, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену
:
В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения
):
[править] Мнемоническое правило
Познакомили поэта
С теоремою Виета
Оба корня он сложил
минус p он получил
а корней произведенье
дает q из уравнения
[править] Разложение квадратного уравнения на множители
Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле
В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.
f (x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) of a real variable x, the x-coordinates of the points where the graph intersects the x-axis, x = −1 and x = 2, are the solutions of the quadratic equation: x2 − x − 2 = 0.
[править] Уравнения, сводящиеся к квадратным
[править] Алгебраические
Уравнение вида
является уравнением, сводящимся к квадратному. В общем случае оно решается заменой
c последующим решением квадратного уравнения
.
Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений
и 
Если
, то уравнение принимает вид:
Такое уравнение называется биквадратным[2].
[править] Дифференциальные
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
подстановкой
сводится к характеристическому квадратному уравнению:
Если решения этого уравнения
и
не равны друг другу, то общее решение имеет вид:
, где
и
— произвольные постоянные.
Для комплексных корней
можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:
Если решения характеристического уравнения совпадают
, общее решение записывается в виде:
Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.
[править] Примечания
[править] Ссылки
- Weisstein, Eric W. QuadraticEquation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
| Квадратное уравнение на Викискладе? |










корней два, и они вычисляются по формуле
(1)
корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

вещественных корней нет. Существуют два 









, где
и
— произвольные постоянные.
