Урэлемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории множеств, разделе математики, урэлемент или ур-элемент (от немецкой приставки ur- обозначающей «изначальный» или «исходный») — это объект (конкретный или абстрактный), который не является множеством, но который может быть элементом множества. Урэлементы иногда называются «атомами».

Теория[править | править вики-текст]

Если U — это урэлемент, не имеет смысла говорить, что

X\in U,

однако

U\in X,

является законным утверждением.

Не путайте урэлемент с пустым множеством

X\in\varnothing

это утверждение является правильно оформленным, но ложным.

Этот взгляд на урэлементы базируется на двухтиповой теории множеств, то есть любое множество находится в области, содержащей два типа сущностей, а именно — множества и урэлементы. Альтернативный подход заключается в том, что используют теорию множеств с одним типом и различают урэлементы и отдельные (пустые) множества. В этом случае аксиома расширяемости не должна применяться к урэлементам.

Урэлементы в теории множеств[править | править вики-текст]

Урэлементы впервые появились в теории множеств Цермело в 1908 году. Последующие исследования выявили, что в контексте этой и близких аксиоматических теорий множеств, урэлементы имели небольшое математическое значение. Таким образом, в канонических аксиоматических теориях множеств ZF и ZFC урэлементы не упоминаются вовсе. В теории типов объект типа 0 может быть назван урэлементом, отсюда и название «атом».