Правильный многоугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Правильный семиугольник

Пра́вильный многоуго́льник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Содержание

1 Свойства
2 Применение
3 История
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки

[править] Свойства

[править] Координаты

Пусть $x 0$ и $y 0$ — координаты центра, а $R$ — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, $φ 0$ — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного многоугольника определяются формулами

$x_i = x_0 + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)$ ,

$y_i = y_0 + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)$ ,

где $i = 0 \dots n - 1$ .

[править] Размеры

Пусть $R$ — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

$r = R \cos \frac{\pi}{n}$ ,

а длина стороны многоугольника равна

$t = 2 R \sin \frac{\pi}{n}$ .

[править] Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон $n$ и длиной стороны $t$ составляет

$S = \frac{n}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{n}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон $n$ , вписанного в окружность радиуса $R$ составляет

$S = \frac{n}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{n}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон $n$ , описанного вокруг окружности радиуса $r$ составляет

$S = n r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}$ .

[править] Применение

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.^[1]

[править] История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2^m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2^{m - 1}: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с $2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}$ сторонами, где m — целое неотрицательное число, $p 1, p 2$ — числа 3 и 5, а $k 1, k 2$ принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать более общо, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно $2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}$ , где $k 0$ — целое неотрицательное число, ${k_1},{k_2}\cdots{k_s}$ принимают значения 0 или 1, а $p j$ — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

[править] См. также

Правильный многогранник

[править] Примечания

↑ А. В. Жуков. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.

[править] Ссылки

В Викисловаре есть статья о термине «правильный многоугольник»

Правильные многоугольники
Треугольник \| Четырёхугольник \| Пятиугольник \| Шестиугольник \| Семиугольник \| Восьмиугольник \| Девятиугольник \| Семнадцатиугольник \| 257-угольник \| 65537-угольник
(См. также: Многоугольник, Теорема Гаусса — Ванцеля)