Правильный многоугольник

Правильный семиугольник

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Свойства

Координаты

Пусть $x_C$ и $y_C$ — координаты центра, а $R$ — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ${\phi}_0$ — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n — угольника определяются формулами:

$x_i = x_C + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)$

$y_i = y_C + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)$

где $i = 0 \dots n - 1$

Размеры

Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть $R$ — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

$r = R \cos \frac{\pi}{n}$,

а длина стороны многоугольника равна

$a = 2 R \sin \frac{\pi}{n} = 2 r \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}$

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон $n$ и длиной стороны $a$ составляет:

$S = \frac{n}{4}\ a^2 \mathop{\mathrm{}}\, \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}$.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон $n$, вписанного в окружность радиуса $R$, составляет:

$S = \frac{n}{2}R^2 \sin \frac{2 \pi}{n}$.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон $n$, описанного вокруг окружности радиуса $r$, составляет:

$S = nr^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}$(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон $n$ равна

$S = \frac{nra}{2}$,

где $r$ — расстояние от середины стороны до центра, $a$ — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр ($P$) и радиус вписанной окружности ($r$) составляет:

$S = \frac{1}{2}Pr$.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны правильного n-угольника вписанного в окружность, зная длину окружности можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

$a_n$ — длина стороны правильного n-угольника.

$a_n = \sin\frac{180}{n} \cdot \frac{L}{\pi}$

Периметр $P_n$ равен

$P_n = a_n \cdot n$

где $n$ кол-во сторон многоугольника.

Применение

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифон, Брисон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2^m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2^{m — 1}: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с $2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}$ сторонами, где m — целое неотрицательное число, ${p_1}, {p_2}$ — числа 3 и 5, а ${k_1}, {k_2}$ принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно $2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}$, где ${k_0}$ — целое неотрицательное число, ${k_1},{k_2},\dots,{k_s}$ принимают значения 0 или 1, а ${p_j}$ — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

См. также

• Правильный многогранник