Функция Гудермана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция Гудермана с асимптотами y=\pm\pi/2, показанными синим цветом

Функция Гудермана (гудерманиан, или гиперболическая амплитуда), названная в честь Кристофа Гудермана (17981852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как

\operatorname{gd}(x)\, =\int\limits_0^x\frac{dt}{\operatorname{ch}\,t}
=2\,\operatorname{arctg}\left(\operatorname{th}\frac{x}{2}\right)
=2\,\operatorname{arctg}\,e^x-{\pi\over2}
=\operatorname{arctg}(\operatorname{sh}(x)).

При этом

\operatorname{th}\frac{x}{2}=\operatorname{tg}\frac{\operatorname{gd}(x)}{2}.

Имеют место также следующие тождества:

\operatorname{sh}(x)=\operatorname{tg}(\operatorname{gd}(x))
\operatorname{ch}(x)=\sec(\operatorname{gd}(x))
\operatorname{th}(x)=\sin(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{sch}(x)=\cos(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{csch}(x)=\operatorname{ctg}(\operatorname{gd}(x))\
\operatorname{cth}(x)=\operatorname{cosec}(\operatorname{gd}(x))\

Обратная функция к функции Гудермана

\operatorname{arcgd}(x) ={\operatorname{gd}}^{-1}(x)=\int\limits_0^x \frac{dt}{\cos t}\,
=\operatorname{arch}(\sec x)=\operatorname{arth}(\sin x)\,
=\ln\bigl(\sec(x)(1+\sin(x))\bigr)\,
=\ln(\operatorname{tg}x+\sec x)=\ln\biggl(\!\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\!\!\biggr)\,
=\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \biggr).\,

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана:

{d \over dx}\,\operatorname{gd}(x)=\operatorname{sch}(x),
{d \over dx}\,\operatorname{arcgd}(x)=\sec(x).

Разложение в ряд:

\operatorname{gd}(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61x^7}{5040}+...


См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1963. 1100 с.

Внешние ссылки[править | править вики-текст]