Функция Гудермана

Функция Гудермана с асимптотами $y=\pm\pi/2$ , показанными серым цветом

Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (1798—1852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как

$\operatorname{gd}(x)\,$	$=\int\limits_0^x\frac{dt}{\operatorname{ch}\,t}$
	$=2\,\operatorname{arctg}\left(\operatorname{th}\frac{x}{2}\right)$
	$=2\,\operatorname{arctg}\,e^x-{\pi\over2}.$

При этом

$\operatorname{th}\frac{x}{2}=\operatorname{tg}\frac{\operatorname{gd}(x)}{2}$ .

Имеют место также следующие тождества:

$\operatorname{sh}(x)=\operatorname{tg}(\operatorname{gd}(x))$

$\operatorname{ch}(x)=\sec(\operatorname{gd}(x))$

$\operatorname{th}(x)=\sin(\operatorname{gd}(x))\$

$\operatorname{sch}(x)=\cos(\operatorname{gd}(x))\$

$\operatorname{csch}(x)=\operatorname{ctg}(\operatorname{gd}(x))\$

$\operatorname{cth}(x)=\operatorname{cosec}(\operatorname{gd}(x))\$

Обратная функция к функции Гудермана

$\operatorname{arcgd}(x)$	$={\operatorname{gd}}^{-1}(x)=\int\limits_0^x \frac{dt}{\cos t}\,$
	$=\operatorname{arsh}(\sec x)=\operatorname{arth}(\sin x)\,$
	$=\ln\bigl(\sec(x)(1+\sin(x))\bigr)\,$
	$=\ln(\operatorname{tg}x+\sec x)=\ln\biggl(\!\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\!\!\biggr)\,$
	$=\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \biggr).\,$