Асимптота

• Аси́мпто́та (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

Для гиперболы $y = \frac{1} {x} \!$ асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее	Затухающие колебания. $y = e^{-0.1x}\sin (x) \!$. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида $~x = a$ при условии существования предела $\lim_{x \to a}f(x)= \infty$.

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. $\lim_{x \to a-0}f(x)= +- \infty$
2. $\lim_{x \to a+0}f(x)= -+\infty$

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида $~y = a$ при условии существования предела

$\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=a$.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида $~y=kx+b$ при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
2. $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен $\infty$), то наклонной асимптоты при $x \to + \infty$ (или $x \to - \infty$) не существует.

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0$, то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0$, и из выше указанных замечаний следует, что

1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

График функции с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение вертикальных асимптот.
2. Нахождение двух пределов $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k$
3. Нахождение двух пределов $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$:

если $~k=0$ в п. 2.), то $~kx=0$, и предел $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b$ ищется по формуле горизонтальной асимптоты, $\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=a$.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция $~f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}$.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

$~f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1}$.

При   $~ x \to \infty$,   $\frac{x+2}{x^2+1} \to 0$,   то есть:

$\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}(2x+5)= \pm \infty$,

и $~y=2x+5$ является искомым уравнением асимптоты.

Свойства

• Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также

• Асимптотическая кривая

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
• Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки

• Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.