Асимптота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Фрагмент статьи «асимптота» с указанием ударения в словаре В.И.Даля[1].
Для гиперболы y = \frac{1} {x} \! асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее

Аси́мпто́та[2] (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[3]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[4].

Затухающие колебания. y = e^{-0.1x}\sin (x) \!. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту
Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков[править | править вики-текст]

Вертикальная[править | править вики-текст]

Вертикальная асимптота — прямая вида ~x = a при условии существования предела \lim_{x \to  a}f(x)= \infty .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

  1. \lim_{x \to  a-0}f(x)= +- \infty
  2. \lim_{x \to  a+0}f(x)=  -+\infty

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная[править | править вики-текст]

Горизонтальная асимптота — прямая вида ~y = a при условии существования предела

\lim_{x \to  \pm \infty}f(x)=a.

Наклонная[править | править вики-текст]

Наклонная асимптота — прямая вида ~y=kx+b при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты
  1. \lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k
  2. \lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.

Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен \infty), то наклонной асимптоты при x \to + \infty (или x \to - \infty) не существует.

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами[править | править вики-текст]

Если при вычислении предела \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0, то наклонная асимптота совпадает с горизонтальной.

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=0, из этого следует что

  1. Функция не может иметь наклонную асимптоту одновременно с горизонтальной при x \to + \infty, аналогично для x \to - \infty, но так же возможен случай когда и вовсе нет асимптот.
  2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.
График функции с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот[править | править вики-текст]

Порядок нахождения асимптот[править | править вики-текст]

  1. Нахождение вертикальных асимптот.
  2. Нахождение двух пределов \lim_{x \to  \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k
  3. Нахождение двух пределов \lim_{x \to  \pm \infty}(f(x)-kx)=b:

если ~k=0 в п. 2.), то ~kx=0, и предел \lim_{x \to  \pm \infty}(f(x)-kx)=b находится по формуле горизонтальной асимптоты, \lim_{x \to  \pm \infty}f(x)=a.

Наклонная асимптота — выделение целой части[править | править вики-текст]

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция ~f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

~f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1}.

При   ~ x \to \infty,   \frac{x+2}{x^2+1} \to 0,   то есть:

\lim_{x \to \pm \infty}f(x)=\lim_{x \to \pm \infty}(2x+5)= \pm \infty,

и ~y=2x+5 является искомым уравнением асимптоты.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[5]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Даль В. Толковый словарь живого великорусского языка / Четвёртое исправленное и значительно дополненное издание под ред. проф. И.А.Бодуэна-де-Куртенэ. — СПб.-М.: Издание товарищества М.О.Вольф, 1912. — Т. 1. — С. 68.
  2. Двойное ударение поставлено согласно Советскому энциклопедическому словарю. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Словарь иностранных слов / Под ред. И.В.Лёхина и проф. Ф.Н.Петрова. — М.: Гос. изд-во иностр. и нац. словарей, 1955. — С. 77. — 856 с.) указывался единственный вариант ударения «асимпто́та».
  3. Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
  4. Математический энциклопедический словарьМ.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
  5. Taylor C. Geometrical Conics; Including Anharmonic Ratio and Projection, With Numerous Examples. — Cambridge: Macmillan, 1863. — С. 170.

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
  • Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки[править | править вики-текст]