Функция неопределенности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функция неопределенности (ФН) — двумерная функция {\chi \left( \tau ,f \right)}, представляющая собой зависимость величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на {\tau} и по частоте на {\Delta f} относительно сигнала {s \left(t \right)}, согласованного с этим фильтром. Иными словами, она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой (дальность) и частотой (радиальная скорость). Используется для анализа разрешающей способности сигналов по дальности и радиальной скорости в радиолокации.

Функция неопределенности представляет собой корреляционный интеграл

\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty  s(t)s^*(t-\tau) e^{i 2 \pi \Delta f t} \, dt, (1)

где * — операция комплексного сопряжения; {i} — мнимая единица.

Вывод выражения[править | править вики-текст]

Основной операцией при согласованной фильтрации является вычисление взаимнокорреляционного интеграла между принимаемым f\left( t \right) и ожидаемым (оптимальным для фильтра) s\left( t \right) сигналом

y\left(t  \right)=\int\limits_{-\infty }^\infty{f\left(\tau\right)s^*\left(\tau-t\right)d\tau}.

Положим, что принимаемый сигнал имеет некоторый доплеровский сдвиг \Delta f обусловленный скоростью цели и задаётся выражением f\left(t\right)=s\left(t \right)e^{i 2 \pi \Delta f t}. Тогда отклик согласованного фильтра определяется как

y\left(t  \right)=\int\limits_{-\infty }^\infty{s\left(\tau\right)e^{i 2 \pi \Delta f \tau}s^*\left(\tau-t\right)d\tau}.

Осуществив замену переменных t=\tau и \tau=t окончательно можно записать

\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty  s(t)s^*(t-\tau) e^{i 2 \pi \Delta f t} \, dt.

Следует отметить, что существуют и другие формы записи выражения для функции неопределенности, представляющие собой абсолютное значение выражения (1), либо его квадрат.

Свойства функции неопределенности[править | править вики-текст]

  • Максимальное значение ФН находится в точке начала координат \left( \tau=0, \Delta f=0 \right) и количественно равно E
\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|\le \left| \chi \left( 0,0 \right) \right|=E,

где E=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| s\left( t \right) \right|}^{2}}dt} — энергия сигнала.

  • По модулю ФН симметрична относительно начала координат
\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|=\left| \chi \left( -\tau ,- \Delta f \right) \right|.
  • Объём квадрата модуля ФН является постоянным и равен {{E}^{2}}.
\int\limits_{-\infty }^{\infty }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|}^{2}}d\tau df=}{{E}^{2}}.
\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty  S^*(f)S(f-\Delta f) e^{-i 2 \pi \Delta f \tau} \, df.

Функции неопределенности некоторых сигналов[править | править вики-текст]

Идеальная ФН[править | править вики-текст]

Идеальная ФН представляет собой дельта функцию

\chi(\tau,\Delta f) = \delta(\tau) \delta(\Delta f) \, ,

имеющую бесконечное значение в точке (0,0) и нулевое во всех остальных случаях. Идеальная ФН обеспечивает наилучшую разрешающую способность двух бесконечно близко расположенных целей. Является математической идеализацией. Примером сигнала с идеальной ФН может быть сигнал с бесконечной шириной спектра.

Прямоугольный импульс[править | править вики-текст]

Модуль ФН прямоугольного импульса

Модуль ФН нормированного прямоугольного импульса длительностью T, заданного как

s(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right),

где \mathrm{rect()} — прямоугольная функция, на основании выражения (1) имеет вид

\left| \chi(\tau,\Delta f)  \right| = \left| \left( 1- \frac{\left| \tau  \right|}{T} \right)\frac{\sin\left(\pi T \Delta f\left(1-\left| \tau \right|/T\right)\right)}{\pi T \Delta f \left(1-\left| \tau \right|/T\right)}  \right|.

Сечение ФН по оси времени при \Delta f =0 определяется выражением

\left| \chi(\tau,0)  \right| = \begin{cases}
1- \frac{\left| \tau  \right|}{T}, & |\tau| \le T \\
0, & \mbox{otherwise}. \\
\end{cases}

Сечение ФН по оси частот при \tau =0 определяется выражением

\left| \chi(0,\Delta f)  \right| = \left| \frac{\sin(\pi T \Delta f)}{\pi T \Delta f}  \right|.

ЛЧМ импульс[править | править вики-текст]

Модуль ФН ЛЧМ импульса

Пусть ЛЧМ импульс задан выражением

s(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right)e^{i \pi \mu t^2},

где \mu=\pm {B}/{T} — крутизна ЛЧМ; B — девиация частоты. Тогда модуль ФН определяется как

\left| \chi(\tau,\Delta f)  \right| = \left| \left( 1- \frac{\left| \tau  \right|}{T} \right)\frac{\sin\left(\pi T (\Delta f \pm B({\tau}/{T})) \left(1-\left| \tau \right|/T\right)\right)}{\pi T (\Delta f \pm B({\tau}/{T})) \left(1-\left| \tau \right|/T\right)}  \right|,

при \left| \tau  \right| \le T.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Дудник, П. И. Авиационные радиолокационные комплексы и системы: учебник для слушателей и курсантов ВУЗов ВВС / П. И. Дудник, Г. С. Кондратенков, Б. Г. Татарский, А. Р. Ильчук, А. А. Герасимов. Под ред. П. И. Дудника. — М.: Изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2006. — 1112 с. — ISBN 5-903111-15-7.
  2. Лёзин, Ю. С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем: Учеб. пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 280 с.
  3. Mahafza, B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8.