Функция неопределенности

Функция неопределенности (ФН) — двумерная функция ${\chi \left( \tau ,f \right)}$, представляющая собой зависимость величины отклика согласованного фильтра на сигнал, сдвинутый по времени на ${\tau}$ и по частоте на ${\Delta f}$ относительно сигнала ${s \left(t \right)}$, согласованного с этим фильтром. Иными словами, она характеризует степень различия откликов фильтра на сигналы с различной временной задержкой (дальность) и частотой (радиальная скорость). Используется для анализа разрешающей способности сигналов по дальности и радиальной скорости в радиолокации.

Функция неопределенности представляет собой корреляционный интеграл

$\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty s(t)s^*(t-\tau) e^{i 2 \pi \Delta f t} \, dt$,

(1)

где * — операция комплексного сопряжения; ${i}$ — мнимая единица.

Вывод выражения

Основной операцией при согласованной фильтрации является вычисление взаимнокорреляционного интеграла между принимаемым $f\left( t \right)$ и ожидаемым (оптимальным для фильтра) $s\left( t \right)$ сигналом

$y\left(t \right)=\int\limits_{-\infty }^\infty{f\left(\tau\right)s^*\left(\tau-t\right)d\tau}$.

Положим, что принимаемый сигнал имеет некоторый доплеровский сдвиг $\Delta f$ обусловленный скоростью цели и задаётся выражением $f\left(t\right)=s\left(t \right)e^{i 2 \pi \Delta f t}$. Тогда отклик согласованного фильтра определяется как

$y\left(t \right)=\int\limits_{-\infty }^\infty{s\left(\tau\right)e^{i 2 \pi \Delta f \tau}s^*\left(\tau-t\right)d\tau}$.

Осуществив замену переменных $t=\tau$ и $\tau=t$ окончательно можно записать

$\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty s(t)s^*(t-\tau) e^{i 2 \pi \Delta f t} \, dt$.

Следует отметить, что существуют и другие формы записи выражения для функции неопределенности, представляющие собой абсолютное значение выражения (1), либо его квадрат.

Свойства функции неопределенности

• Максимальное значение ФН находится в точке начала координат $\left( \tau=0, \Delta f=0 \right)$ и количественно равно $E$

$\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|\le \left| \chi \left( 0,0 \right) \right|=E$,

где $E=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| s\left( t \right) \right|}^{2}}dt}$ — энергия сигнала.

• По модулю ФН симметрична относительно начала координат

$\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|=\left| \chi \left( -\tau ,- \Delta f \right) \right|$.

• Объём квадрата модуля ФН является постоянным и равен ${{E}^{2}}$.

$\int\limits_{-\infty }^{\infty }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\left| \chi \left( \tau ,\Delta f \right) \right|}^{2}}d\tau df=}{{E}^{2}}$.

• Если $S(t)$ является преобразованием Фурье от сигнала $s(t)$, то согласно теореме Парсеваля функция неопределенности может быть представлена в виде

$\chi(\tau,\Delta f)=\int_{-\infty}^\infty S^*(f)S(f-\Delta f) e^{-i 2 \pi \Delta f \tau} \, df$.

Функции неопределенности некоторых сигналов

Идеальная ФН

Идеальная ФН представляет собой дельта функцию

$\chi(\tau,\Delta f) = \delta(\tau) \delta(\Delta f) \,$,

имеющую бесконечное значение в точке $(0,0)$ и нулевое во всех остальных случаях. Идеальная ФН обеспечивает наилучшую разрешающую способность двух бесконечно близко расположенных целей. Является математической идеализацией. Примером сигнала с идеальной ФН может быть сигнал с бесконечной шириной спектра.

Прямоугольный импульс

Модуль ФН прямоугольного импульса

Модуль ФН нормированного прямоугольного импульса длительностью $T$, заданного как

$s(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right)$,

где $\mathrm{rect()}$ — прямоугольная функция, на основании выражения (1) имеет вид

$\left| \chi(\tau,\Delta f) \right| = \left| \left( 1- \frac{\left| \tau \right|}{T} \right)\frac{\sin\left(\pi T \Delta f\left(1-\left| \tau \right|/T\right)\right)}{\pi T \Delta f \left(1-\left| \tau \right|/T\right)} \right|$.

Сечение ФН по оси времени при $\Delta f =0$ определяется выражением

$\left| \chi(\tau,0) \right| = \begin{cases} 1- \frac{\left| \tau \right|}{T}, & |\tau| \le T \\ 0, & \mbox{otherwise}. \\ \end{cases}$

Сечение ФН по оси частот при $\tau =0$ определяется выражением

$\left| \chi(0,\Delta f) \right| = \left| \frac{\sin(\pi T \Delta f)}{\pi T \Delta f} \right|$.

ЛЧМ импульс

Модуль ФН ЛЧМ импульса

Пусть ЛЧМ импульс задан выражением

$s(t) = \frac{1}{\sqrt{T}}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right)e^{i \pi \mu t^2}$,

где $\mu=\pm {B}/{T}$ — крутизна ЛЧМ; $B$ — девиация частоты. Тогда модуль ФН определяется как

$\left| \chi(\tau,\Delta f) \right| = \left| \left( 1- \frac{\left| \tau \right|}{T} \right)\frac{\sin\left(\pi T (\Delta f \pm B({\tau}/{T})) \left(1-\left| \tau \right|/T\right)\right)}{\pi T (\Delta f \pm B({\tau}/{T})) \left(1-\left| \tau \right|/T\right)} \right|$,

при $\left| \tau \right| \le T$.

Литература

1. Дудник, П. И. Авиационные радиолокационные комплексы и системы: учебник для слушателей и курсантов ВУЗов ВВС / П. И. Дудник, Г. С. Кондратенков, Б. Г. Татарский, А. Р. Ильчук, А. А. Герасимов. Под ред. П. И. Дудника. — М.: Изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 2006. — 1112 с. — ISBN 5-903111-15-7
2. Лёзин, Ю. С. Введение в теорию и технику радиотехнических систем: Учеб. пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 280 с.
3. Mahafza, B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8