Функция принадлежности

Функция принадлежности нечёткого множества — обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.

Определение

Для пространства рассуждения $\mathbf {X} \$ и данной функции принадлежности $\mu :\mathbf {X} \to [0,1]$ нечёткое множество определяется как

${\tilde {\mathit {A}}}=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in \mathbf {X} \}.$

Функция принадлежности $\mu _{A}(x)\$ количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения $x\in \mathbf {X}$ нечёткому множеству ${\tilde {\mathit {A}}}$. Значение $0\$ означает, что элемент не включен в нечёткое множество, $1\$ описывает полностью включенный элемент. Значения между $0\$ и $1\$ характеризуют нечётко включенные элементы.

Нечёткое множество и классическое, четкое (crisp) множество

Классификация функций принадлежности нормальных нечетких множеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности $\mu _{A}(x)\$ справедливо утверждение, что существует такой $x\in \mathbf {X}$, при котором $\mu _{A}(x)=1\$.

Функция принадлежности класса s

Функция принадлежности класса s определяется как:

$s\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\2\left({{x-a} \over {c-a}}\right)^{2},&a\leqslant x\leqslant b,\\1-2\left({{x-c} \over {c-a}}\right)^{2},&b\leqslant x\leqslant c,\\1,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.$

где $b={{a+c} \over {2}}$.

Функция принадлежности класса π

Функция принадлежности класса π определяется через функцию класса s:

$\pi \left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}s\left(x;c-b,c-{b \over 2},c\right),&x\leqslant c,\\1-s\left(x;c,c+{b \over 2},c+b\right),&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.$

где $b={{a+c} \over {2}}$.

Функция принадлежности класса γ

Функция принадлежности класса γ определяется как:

$\gamma \left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\1,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.$

Функция принадлежности класса t

Функция принадлежности класса t определяется как:

$t\left(x;a,b,c\right)=\left\{{\begin{matrix}0,&x\leqslant a,\\{{x-a} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\{{c-x} \over {c-b}},&b\leqslant x\leqslant c,\\0,&x\geqslant c,\end{matrix}}\right.$

Функция принадлежности класса L

Функция принадлежности класса L определяется как:

$L\left(x;a,b\right)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\leqslant a,\\{{b-x} \over {b-a}},&a\leqslant x\leqslant b,\\0,&x\geqslant b,\end{matrix}}\right.$

См. также

• Теория нечёткой меры
• Операции над нечёткими множествами
• Грубое множество
• Эвентология
• Скалярное ранжирование

Литература

• Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы: Пер. с польского И. Д. Рудинского. — М.:Горячая линия — Телеком, 2004. — 452 с — ISBN 5-93517-103-1