Нечёткое множество

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, путанное, пушистое) множество — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье «Fuzzy Sets» (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале $[0, 1]$, а не только значения $0$ или $1$.

Определение

Под нечётким множеством $A \$ понимается совокупность

$A = \{(x, \mu_A(x))| x \in X\}$,

где $X \$ — универсальное множество, а $\mu_A(x) \$ — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента $x \$ нечёткому множеству $A \$.

Функция $\mu_A(x) \$ принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве $M \$. Множество $M \$ называют множеством принадлежностей, часто в качестве $M \$ выбирается отрезок $[0, 1] \$. Если $M = \{0, 1\} \$, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Основные определения

Пусть $A \$ нечёткое множество с элементами из универсального множества $X \$ и множеством принадлежностей $M = [0, 1] \$. Тогда

• Носителем (суппортом) нечёткого множества $supp A \$ называется множество $\{x|x \in X, \mu_A(x) > 0 \}$.
• Величина $\sup_{x \in X} \mu_A(x)$ называется высотой нечёткого множества $A \$. Нечёткое множество $A \$ нормально, если его высота равна $1 \$. Если высота строго меньше $1 \$, нечёткое множество называется субнормальным.
• Нечёткое множество пусто, если $\forall x \in X \ \mu_A(x) = 0$. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:

$\mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}$ .

• Нечёткое множество унимодально, если $\mu_A(x) = 1 \$ только на одном $x \$ из $X \$.
• Элементы $x \in X$, для которых $\mu_A(x) = 0,5 \$, называются точками перехода нечёткого множества $A \$.

Сравнение нечётких множеств

Пусть $A$ и $B$ нечёткие множества, заданные на универсальном множестве $X$.

• $A$ содержится в $B$, если для любого элемента из $X$ функция его принадлежности множеству $A$ будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству $B$:

$A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!.$

• В случае, если условие $\mu_A(x) \leq \mu_B(x)\!$ выполняется не для всех $x \in X$, говорят о степени включения нечёткого множества $A$ в $B$, которое определяется так:

$l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)\!,$

где

$T = \{x \in X;\mu_A(x) \leq \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}\!.$

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

$A = B \Leftrightarrow \forall x \in X \ \mu_A(x) = \mu_B(x)\!.$

• В случае, если значения функций принадлежности $\mu_A(x)\!$ и $\mu_B(x)\!$ почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств $A$ и $B$, например, в виде

$E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|\!,$

где

$T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}\!.$

Свойства нечётких множеств

• α-разрезом нечёткого множества $A\subseteq X\!$, обозначаемым как $A_\alpha\!$, называется следующее чёткое множество:

$A_\alpha= \{x \in X; \mu_A(x)\geq \alpha\}\!,$

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

$\chi_{A_\alpha}(x) = \left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) < \alpha, \\ 1, &\mu_A(x) \geq \alpha. \end{matrix}\right.\!$

Для α-разреза нечёткого множества истинна импликация

$\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \supset A_{\alpha_2}\!.$

• Нечёткое множество $A \subseteq \mathbf{R}\!$ является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие

$\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geq \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,$

для любых $x_1,x_2 \in \mathbf{R}\!$ и $\gamma \in [0,1]\!$.

• Нечёткое множество $A \subseteq \mathbf{R}\!$ является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие

$\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leq \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle\!,$

для любых $x_1,x_2 \in \mathbf{R}\!$ и $\gamma \in [0,1]\!$.

Операции над нечёткими множествами

При $M = [0, 1] \$

• Пересечением нечётких множеств $A$ и $B$ называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в $A$ и $B$:

$\mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$

• Произведением нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

$\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)\!.$

• Объединением нечётких множеств $A$ и $B$ называется наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементы $A$ или $B$:

$\mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$

• Суммой нечётких множеств $A$ и $B$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

$\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)\!.$

• Отрицанием множества $A \$ называется множество $\overline A$ с функцией принадлежности:

$\mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)\!,$

для каждого $x \in X\!$.

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определеляется следующим образом

$\mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,$

где функция T — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• $\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$
• $\mu_{AB}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x)\!.$
• $\mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \}\!.$
• $\mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=1 \\ 0, & \mu_A(x)<1,\mu_B(x)<1, \end{matrix}\right.\!.$
• $\mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\}\!$, для $p \geq 1\!$.

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определеляется следующим образом

$\mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x))\!,$

где функция S — S-норма (T-конорма). Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• $\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))\!.$
• $\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\mu_B(x)\!.$
• $\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\}\!.$
• $\mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0 \\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=0 \\ 1, & \mu_A(x)<1,\mu_B(x)>0, \end{matrix}\right.\!.$
• $\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\}\!$, для $p \geq 1\!$.

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности $\mu_A(x) \$ можно рассматривать как вероятность накрытия элемента $x \$ некоторым случайным множеством $B \$.

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики.

Литература

• Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 166c.
• Zadeh L.A. Fuzzy sets. — Information and Control, 1965, vol.8, N 3,pp.338-353.
• Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.
• Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения. Под редакцией Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986.

Ссылки

• Международная ассоциация нечетких систем (International Fuzzy Systems Association) (недоступная ссылка с 13-05-2013 (10 дней) — история)

См. также

• Теория нечётких множеств
• Нечёткие множества в финансовом менеджменте
• Линейная частичная информация