Центросимметричная матрица

Центросимметри́чная ма́трица (ЦС-матрица) — квадратная матрица $A={\begin{bmatrix}a&\cdots &b\\\vdots &\ddots &\vdots \\b&\cdots &a\\\end{bmatrix}}$ порядка n, элементы которой связаны соотношением a_ij = a_{n+1−i, n+1−j} (элементы симметричны относительно геометрического центра матрицы). Частным случаем ЦС-матриц является класс бисимметричных матриц.

Свойства центросимметричных матриц

1. В множестве матриц порядка n ЦС-матрицы образуют подмножество, замкнутое относительно операций сложения, умножения и транспонирования (как следствие, данное подмножество образует кольцо).
2. Матрица, обратная к ЦС-матрице, сама является ЦС-матрицей.
3. Множество ЦС-матриц порядка n с определителем, не равным нулю, образует группу по отношению к операции умножения.

Универсальное преобразование ЦС-матриц к блочно-диагональному виду

Для ЦС-матриц найдено универсальное ортогональное преобразование в явном виде, которое приводит любую ЦС-матрицу к блочно-диагональной. Преобразование имеет вид U⁻¹AU, где U является матрицей преобразования того же порядка, что и A. Данное преобразование позволяет упростить процесс вычисления собственных элементов ЦС-матрицы.

Ссылки

• Muir, Thomas. A Treatise on the Theory of Determinants. — Dover, 1960. — P. 19. — ISBN 0-486-60670-8.
• Weaver, J. R. Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1985. — Vol. 92, no. 10. — P. 711—717. — doi:10.2307/2323222.