Кольцо (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операции обратимого сложения и умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются числа (целые, вещественные, комплексные), функции на множестве (например, непрерывные, гладкие или аналитические) и матрицы. Во всех случаях, имеется множество, похожее на множество чисел, в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Однако есть и существенные отличия. Уже на примере целых чисел видно, что операция умножения может быть необратимой (например, операция деления на два определена не на всём кольце целых чисел). Это различие ещё более существенно в кольцах функций и матриц: в них существуют ненулевые элементы, произведение которых равно 0. Например, квадрат матрицы \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr) равен 0, так что она в принципе не может иметь обратную. Кроме того, умножение матриц не коммутативно. Понятие кольца формализует общие свойства всех указанных примеров, позволяя изучать их общими абстрактными методами.

Теория колец делится на два основных раздела: теорию коммутативных колец (известную как коммутативная алгебра) и теорию некоммутативных колец. Первая из них возникла при решении проблем алгебраического характера, возникающих в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. С точки зрения полезности в этих областях, важнейшие коммутативные кольца — это поля, кольца многочленов, координатные кольца алгебраических многообразий и кольца целых алгебраических числовых полей. Некоммутативная теория базируется на совершенно других методах и поэтому не может рассматриваться как обобщение коммутативной. Основная задача некоммутативной алгебры состоит в изучении строения некоммутативных колец: многие некоммутативные кольца можно разложить на простые составляющие, такие как кольца матриц.

Определение[править | править вики-текст]

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a, b, c \in R:

  1. a + b = b + a — коммутативность сложения;
  2. a + (b + c) = (a + b) + c — ассоциативность сложения;
  3. \exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b =  b + a = 0\right) — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. (a \times b) \times c=a \times (b \times c) — ассоциативность умножения;
  6. \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.   — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая что алгебра \left(R, + \right) — абелева группа, и операция \times дистрибутивна слева и справа относительно +.

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

Иногда под (ассоциативным) кольцом понимают кольцо с единицей. Но имеются примеры колец без единицы. Легче всего их построить как идеалы в кольце, не содержащие ненулевых идемпотентов, например кольцо чётных чисел, или многочленов степени 1 и выше.

Простейшие свойства[править | править вики-текст]

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

  • Нейтральный элемент относительно сложения в кольце единственен. Для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен.
  • a \cdot 0 = 0, то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.
  • (-b) = (-1) \cdot b, где (-b) — элемент, обратный к b по сложению.
  • (-a) \cdot b = (-ab).

Основные определения[править | править вики-текст]

Виды элементов кольца[править | править вики-текст]

Левый делитель нуля — это ненулевой элемент a кольца R, для которого существует ненулевой элемент b кольца R, такой что ab=0. Аналогично определеяется правый делитель нуля. Пример: в кольце вычетов \mathbb Z/4\mathbb Z двойка является делителем нуля.

Нильпотентный элемент — это элемент a, такой что a^n = 0 для некоторого n > 0. Пример: матрица \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr). Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля.

Идемпотентный элемент e — это такой элемент, что e\cdot e=e. Пример: любой оператор проектирования, например, \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 0\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr) в кольце матриц 2\times 2.

Если элемент a имеет обратный по умножению, он определён однозначно и обозначается a^{-1}. Такой a называется обратимым элементом. Множество всех обратимых элементов кольца R является группой относительно умножения, она обычно обозначается как R^\times. Например, множество обратимых элементов кольца матриц n\times n образует полную линейную группу \mathrm{GL}(n).

Подкольцо[править | править вики-текст]

Подмножество A\subset R называется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R. По определению, оно непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Эквивалентно, непустое подмножество A\subset R является подкольцом, если для любых x и y из A, x+y, xy и -x также принадлежат A.

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество E\subset R называется подкольцом, порождённым E. Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих E, удовлетворяет этому определению.

При работе с кольцами, содержащими единицу, в определение подкольца иногда добавляют условие, чтобы подкольцо содержало единицу из основного кольца (это позволяет сделать формулировки теорем более простыми). В этом случае множество подколец кольца с единицей содержит наименьший элемент: подкольцо, образованное суммами конечного числа 1 и −1. Может оказаться, что n\cdot 1=1+1+\cdots +1=0 для положительного n. Если n — наименьшее (ненулевое) натуральное число, такое что это сумма n единиц равна нулю, n называется характеристикой кольца. Если такого n не существует, говорят что характеристика данного кольца равна нулю.

Идеалы[править | править вики-текст]

Определение идеала кольца сходно с определением нормальной подгруппы в теории групп. Однако в действительности идеалы кольца играют роль «идеализированных» элементов кольца, отсюда и происхождение названия.

Подмножество I кольца R называется левым идеалом, если:

1) Сумма любых двух элементов из I принадлежит I, а также
2) a\in I\Rightarrow -a\in I.
  • I замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца:
3) Для любого a\in I, r\in R верно ra\in I.

Из свойства 2) следует и замкнутость I относительно умножения внутри себя, так что I является подкольцом.

Соответственно, правый идеал замкнут относительно умножения на элемент кольца справа, двусторонний идеал — как слева, так и справа.

Если x — элемент кольца R, то множество элементов вида Rx (соответственно, xR) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым x. Если кольцо R коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый x, обозначается (x). Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными.

Аналогично случаю групп, кольцо называется простым, если оно ненулевое и единственные его идеалы — ноль и всё кольцо. Любое коммутативное простое кольцо является полем.

Гомоморфизм[править | править вики-текст]

Гомоморфизм колец — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца R в кольцо S — это функция ~ f : R \to S, такая, что f(a + b) = f(a) + f(b) и f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) ~\forall a, b ~\mathcal {2} ~R. В случае колец с единицей иногда требуют также условия f(1) = 1.

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: все автоморфизмы кольца вычетов \mathbb Z/p\mathbb Z (p — произвольное простое число) имеют вид «умножение на ненулевой элемент кольца».

Если f:R\to S — гомоморфизм колец, множество элементов R, переходящих в ноль, называется ядром f (обозначается \mathrm{ker} f). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом. С другой стороны, образ f не всегда является идеалом, но является подкольцом S.

Факторкольцо[править | править вики-текст]

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца R по двустороннему идеалу I — это множество классов смежности аддитивной группы R по аддитивной подгруппе I со следующими операциями:

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
(a + I)(b + I) = (ab) + I.

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм p: R \to R/I, задаваемый как x \mapsto x + I. Слово «канонический» означает, что этот гомоморфизм удовлетворяет универсальному свойству: если f:R \to S — гомоморфизм в произвольное кольцо S, такой что f(I) = 0, существует единственный гомоморфизм \overline{f}: R/I \to S, такой что f = \overline{f} \circ p. В случае, когда f сюръективен и I=\mathrm{ker} f, универсальное свойство говорит о существовании гомоморфизма \overline{f}:R/\mathrm{ker} f\to S, такого что f = \overline{f} \circ p. Нетрудно проверить, что этот гомоморфизм сюръективен, а также инъективен, из чего следует теорема о гомоморфизме колец: образ сюръективного гомоморфизма колец изоморфен факторкольцу прообраза по ядру.

Классы колец[править | править вики-текст]

  • Кольцо с единицей 1 \neq 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
  • Коммутативное тело называется полем. Иначе говоря, поле — это коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов.
  • Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом).
  • Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \{ 0\} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий, так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект.
  • \mathbb{Z} — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над \Z. Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.
  • \mathbb{Z}_n — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое. Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел.
  • \mathbb{Q} — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел \R и p-адических чисел \Q_p, где p — произвольное простое число.
  • Для произвольного коммутативного кольца R можно построить кольцо многочленов от n переменных R[x_1,x_2,\dots,x_n] с коэффициентами в R. В частности, R[x][y]=R[x,y]. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right).
  • Кольцо бесконечно гладких вещественнозначных функций C^\infty(M,\R) на многообразии M — это коммутативное кольцо с единицей. Умножение и сложение в нём определяются поточечно:
(f+g)(x) = f(x) + g(x),\;x\in M
(f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x),\;x\in M
Нулевой элемент — функция, тождественно равная 0, единичный — тождественно равная 1. Обратимыми элементами в нём являются нигде не равные 0 функции, делителями нуля — функции, равные 0 на некотором открытом множестве в M. Это кольцо не имеет нильпотентов, так как их нет в \R, а умножение поточечно. Если M компактно, то максимальными идеалами в нём являются множества функций, зануляющихся в данной точке:
\mathfrak{m}_x = \{ f\in C^\infty(M) \vert f(x) = 0 \}
причём максимальные идеалы совпадают с простыми.
  • Кольцо подмножеств множества X — это кольцо, элементами которого являются подмножества в X. Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:
A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A)
A \cdot B = A \cap B
Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё X. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть A\cdot A = A. Любой элемент является своим обратным по сложению: A+A=0. Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей.

Конструкции[править | править вики-текст]

Прямое произведение[править | править вики-текст]

Пусть R и S — кольца. Тогда произведение R\times S можно снабдить естественной структурой кольца. Операции задаются следующим образом: для любых r_1,r_2\in R, s_1,s_2\in S:

  • (r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+s_1,r_2+s_2)
  • (r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1s_1,r_2s_2)

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно).

Пусть R — коммутативное кольцо и \mathfrak{a}_1, \cdots,  \mathfrak{a}_n — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу). Китайская теорема об остатках утверждает, что отображение

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x +  \mathfrak{a}_1, \ldots , x +  \mathfrak{a}_n)

сюръективно, а его ядро — \scriptstyle\prod \mathfrak{a} _i = \cap  \mathfrak{a}_i (см. Произведение идеалов, Пересечение идеалов).

Кольцо эндоморфизмов[править | править вики-текст]

Пусть A — абелева группа (групповая операция в дальнейшем записывается аддитивно). Тогда множество гомоморфизмов этой группы в себя (то есть эндоморфизмов) образует кольцо, обозначаемое End(A). Сумма двух гомоморфизмов определяется покомпонентно: (f+g)(x)=f(x)+g(x), а произведение — как композиция гомоморфизмов: (fg)(x)=f(g(x)). Если A — группа, не являющаяся абелевой, то f+g, вообще говоря, не равно g+f, тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным.

Если V — векторное пространство над полем K, то линейные операторы на V также образуют кольцо, обозначаемое EndK(V).

Поле частных и кольцо частных[править | править вики-текст]

Пусть R — целостное кольцо, тогда следующая конструкция позволяет построить намименьшее поле, содержащее его. Поле частных кольца R — это множество классов эквивалентности формальных дробей p/q,\; p,q\in R по следующему отношению эквивалентности:

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}   тогда и только тогда, когда {p_1q_2}= {p_2q_1}

с обычными операциями: \scriptstyle{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходиться воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, пусть S — мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце R (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда кольцо частных S^{-1}R — это множество классов эквивалентности формальных дробей r/s,\; r\in R, s\in S по отношению эквивалентности:

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2} тогда и только тогда, когда существует s'\in S, такое что s'{r_1s_2-r_2s_1}= 0.

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — это локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе S=\{10^n|n\geqslant 0\}.

Существует естественное отображение R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1. Его ядро состоит из таких элементов r, для которых существует sS, такое что rs = 0. В частности, для целостного кольца это отображение инъективно.

Категорное описание[править | править вики-текст]

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию, обычно обозначаемую Ring (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают Rng). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна. Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения, копроизведения, ядра и коядра). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо \mathbb Z) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — это моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R-модуль. Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства: грубо говоря, модуль — это «векторное пространство над кольцом».

Специальные классы колец[править | править вики-текст]

Обобщения — неассоциативное кольцо, полукольцо, почти-кольцо.

Структуры над кольцами[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7.
  • Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. Т. 1–2 — М.: Мир, 1977, 1979—688 с. + 464 с.