Кольцо (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операции обратимого сложения и умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются числа (целые, вещественные, комплексные), функции, определенные на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на множество чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом[1].

Для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой безотносительно к природе элементов, над которым операции производятся, и было введено понятие кольца[2].

Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, алгебраической K-теории, теории инвариантов.

История[править | править вики-текст]

Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 60-70-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел. Решение этой задачи было опубликовано Р.Дедекиндом ("X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле", 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и идеала.

Определение[править | править вики-текст]

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и \times (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых a, b, c \in R:

  1. a + b = b + a — коммутативность сложения;
  2. a + (b + c) = (a + b) + c — ассоциативность сложения;
  3. \exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b =  b + a = 0\right) — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. (a \times b) \times c=a \times (b \times c) — ассоциативность умножения;
  6. \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.   — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая что алгебра \left(R, + \right) — абелева группа, и операция \times дистрибутивна слева и справа относительно +.

Кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей[3], но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы[4].

Вместо символа \times часто используют символ \cdot, либо вовсе его опускают.

Простейшие свойства[править | править вики-текст]

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

  • нейтральный элемент относительно сложения в кольце единственен;
  • для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
  • нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
  • a \cdot 0 = 0, то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
  • (-b) = (-1) \cdot b, где (-b) — элемент, обратный к b по сложению;
  • (-a) \cdot b = (-ab);
  • (-a) \cdot (-b) = (ab).[5][4]

Основные понятия[править | править вики-текст]

Виды элементов кольца[править | править вики-текст]

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным[⇨]). Тогда левый делитель нуля — это ненулевой элемент a кольца R, для которого существует ненулевой элемент b кольца R, такой что ab=0. Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Пример: рассмотрим кольцо непрерывных функций на интервале (-1, 1). Положим f(x)=\max(0, x), g(x)=\max(0, -x). тогда f\ne0, g\ne0, fg=0, то есть f, g являются делителями нуля. Здесь условие f\ne0 означает, что f является функцией, отличной от нуля, но не означает, что f нигде не принимает значение 0.[6]

Нильпотентный элемент — это элемент a, такой что a^n = 0 для некоторого n > 0. Пример: матрица \bigl(\begin{smallmatrix}
0 & 1\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr). Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно[7].

Идемпотентный элемент e — это такой элемент, что e\cdot e=e. Например, идемпотентен любой оператор проектирования, в частности, следующий: \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 0\\0 & 0
\end{smallmatrix}\bigr) в кольце матриц 2\times 2.[8]

Если a – произвольный элемент кольца с единицей R, то левым обратным элементом к a называется a^{-1}_{l} такой, что a^{-1}_{l}a=1. Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента a есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что a обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается a^{-1}. Сам элемент называется обратимым элементом.[6]

Подкольцо[править | править вики-текст]

Подмножество A\subset R называется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R. При этом говорят, что R – расширение кольца A.[9] Другими словами, непустое подмножество A\subset R является подкольцом, если

  • A является аддитивной подгруппой кольца R, то есть для любых x, y \in A : x+y, -x \in A,
  • A замкнуто относительно умножения, то есть для любых x, y \in A : xy \in A.

По определению, подкольцо непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца.[10]

Подкольцо наследует свойство коммутативности.[11]

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество E\subset R называется подкольцом, порождённым E, а E — системой образующих для кольца R. Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих E, удовлетворяет этому определению.[10]

Подкольцо кольца с единицей R, порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца R. Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца R.[12]

Идеалы[править | править вики-текст]

Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории групп[13].

Непустое подмножество I кольца R называется левым идеалом, если:

  • I является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из I принадлежит I, а также a\in I\Rightarrow -a\in I.
  • I замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого a\in I, r\in R верно ra\in I.

Из первого свойства следует и замкнутость I относительно умножения внутри себя, так что I является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.
Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца R — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца R может определяться как ядро некоторого гомоморфизма ~ f : R \to R'.[14]

Если x — элемент кольца R, то множество элементов вида Rx (соответственно, xR) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым x. Если кольцо R коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый x, обозначается (x). Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными[15].

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым, если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля.
Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальным.[16]

Гомоморфизм[править | править вики-текст]

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца R в кольцо S — это функция ~ f : R \to S, такая что

  1. f(a + b) = f(a) + f(b),
  2. f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b) ~\forall a, b ~\mathcal {2} ~R.

В случае колец с единицей иногда требуют также условия f(1) = 1[17][18].

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом.[19]

Если f:R\to S — гомоморфизм колец, множество элементов R, переходящих в ноль, называется ядром f (обозначается \mathrm{ker} f). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом[20]. С другой стороны, образ f не всегда является идеалом, но является подкольцом S[14] (обозначается \mathrm{im} f).

Факторкольцо[править | править вики-текст]

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца R по двустороннему идеалу I — это множество классов смежности аддитивной группы R по аддитивной подгруппе I со следующими операциями:

  • (a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
  • (a + I)(b + I) = (ab) + I.

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм p: R \to R/I, задаваемый как x \mapsto x + I. Ядром при этом является идеал I.

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть ~ f : R \to R', тогда \mathrm{Im} f изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма \mathrm{Im} f \simeq A/\mathrm{Ker} f.[21]

Некоторые особые классы колец[править | править вики-текст]

  • Кольцо с единицей 1 \neq 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.[22]
  • Коммутативное тело называется полем[23] Иначе говоря, поле — это коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов[7][24].
  • Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом)[25]Любое поле является областью целостности, но обратное неверно[26].
  • Целостное кольцо R, не являющееся полем, называется евклидовым, если на кольце задана норма ~N\colon R \to Z_+ такая, что:
    1. N(ab)\le N(a), b — обратим;
    2. для любых a,b \in R существуют q,r \in R такие, что a = qb + r и r = 0 или N( r ) < N(b)[25].
  • Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов. Всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов[11].
  • Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное[27].

Примеры[править | править вики-текст]

  • \{ 0\} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей[4]. Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий, так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект.
  • \mathbb{Z} — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над \Z. Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.[28][29]
  • \mathbb{Z}_n — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое.[30] Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел.
  • \mathbb{Q} — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел \R и p-адических чисел \Q_p, где p — произвольное простое число[31].
  • Для произвольного коммутативного кольца R можно построить кольцо многочленов от n переменных R[x_1,x_2,\dots,x_n] с коэффициентами в R.[10] В частности, R[x][y]=R[x,y]. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right).
  • Кольцо подмножеств множества X — это кольцо, элементами которого являются подмножества в X. Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:
A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),
A \cdot B = A \cap B.
Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё X. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть A\cdot A = A. Любой элемент является своим обратным по сложению: A+A=0. Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей[4].

Конструкции[править | править вики-текст]

Прямое произведение[править | править вики-текст]

Пусть R и S — кольца. Тогда произведение R\times S можно снабдить естественной структурой кольца. Операции задаются следующим образом: для любых r_1,r_2\in R, s_1,s_2\in S:

  • (r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),
  • (r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно).[32]

Пусть R — коммутативное кольцо и \mathfrak{a}_1, \cdots,  \mathfrak{a}_n — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу). Китайская теорема об остатках утверждает, что отображение

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x +  \mathfrak{a}_1, \ldots , x +  \mathfrak{a}_n)

сюръективно, а его ядро — \prod \mathfrak{a}_i = \cap  \mathfrak{a}_i (см. Произведение идеалов, Пересечение идеалов).[17]

Кольцо эндоморфизмов[править | править вики-текст]

Пусть A — абелева группа (групповая операция в дальнейшем записывается аддитивно). Тогда множество гомоморфизмов этой группы в себя (то есть эндоморфизмов) образует кольцо, обозначаемое End(A). Сумма двух гомоморфизмов определяется покомпонентно: (f+g)(x)=f(x)+g(x), а произведение — как композиция гомоморфизмов: (fg)(x)=f(g(x)). Если A — группа, не являющаяся абелевой, то f+g, вообще говоря, не равно g+f, тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным.[33]

Поле частных и кольцо частных[править | править вики-текст]

Пусть R — целостное кольцо, тогда следующая конструкция позволяет построить намименьшее поле, содержащее его. Поле частных кольца R — это множество классов эквивалентности формальных дробей p/q,\; p,q\in R по следующему отношению эквивалентности:

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}   тогда и только тогда, когда {p_1q_2}= {p_2q_1},

с обычными операциями: \scriptstyle{a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходиться воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца. А именно, пусть S — мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце R (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит). Тогда кольцо частных S^{-1}R — это множество классов эквивалентности формальных дробей r/s,\; r\in R, s\in S по отношению эквивалентности:

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2} тогда и только тогда, когда существует s'\in S, такое что s'{r_1s_2-r_2s_1}= 0.

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — это локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе S=\{10^n|n\geqslant 0\}.

Существует естественное отображение R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1. Его ядро состоит из таких элементов r, для которых существует sS, такое что rs = 0. В частности, для целостного кольца это отображение инъективно[34][35].

Категорное описание[править | править вики-текст]

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию, обычно обозначаемую Ring (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают Rng). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна. Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения, копроизведения, ядра и коядра). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо \mathbb Z) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — это моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R-модуль. Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства: грубо говоря, модуль — это «векторное пространство над кольцом».[28][29]

Специальные классы колец[править | править вики-текст]

Обобщения — неассоциативное кольцо, полукольцо, почтикольцо.

Структуры над кольцами[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • М. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
  • Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
  • Колмогоров А. Н.,Юшкевич А. П.(ред.) Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — 255 с.
  • Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.. — М.: Наука, 1968. — 431 с.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории.. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.