Частные производные высших порядков

Пусть задана функция $f(x,y)$. Тогда каждая из её частных производных (если они, конечно, существуют) $\partial f(x,y) \over \partial x$ и $\partial f(x,y) \over \partial y$, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных $x,y$ и может, следовательно, также иметь частные производные. Частная производная ${\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)$ обозначается через ${\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}$ или $f_{xx}''$, а ${\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)$ через $\partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}$ или $f_{xy}''$. Таким образом,

${\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x^{2}}}=f_{xx}''$, ${\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial x}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y\partial x}}=f_{xy}''$

и, аналогично,

${\partial \over {\partial x}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial x\partial y}}=f_{yx}''$, ${\partial \over {\partial y}}\left({\partial f \over {\partial y}}\right)={\partial ^{2}f \over {\partial y^{2}}}=f_{yy}''$.

Производные $f_{xx}'',f_{xy}'',f_{yx}''$ и $f_{yy}''$ называются частными производными второго порядка. Определение: частной производной второго порядка от функции $z=f(x;y)$ дифференцируемой в области $D$, называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: $\partial ^{3}f \over {\partial x^{3}}$, $\partial ^{3}f \over {\partial y\partial x^{2}}$, $\partial ^{3}f \over {\partial y^{2}\partial x}$ и т. д.