F-алгебра

В математике, и особенно в теории категорий, $F$-алгебра — это алгебраическая структура, связанная с функтором $F$.

Определение

$F$-алгеброй эндофунктора

$F : \mathcal{C}\longrightarrow \mathcal{C}$

называется объект $A$ из $\mathcal{C}$ вместе с морфизмом в $\mathcal{C}$

$\alpha : FA \longrightarrow A$.

Таким образом, $F$-алгебра — это пара $(A, \alpha)$.

Гомоморфизмом из $F$-алгебры $(A, \alpha)$ в $F$-алгебру $(B, \beta)$ называется морфизм в $\mathcal{C}$

$f : A \longrightarrow B$,

для которого верно

$f \circ \alpha = \beta \circ Ff$

Для любого заданного эндофунктора $F$ можно рассмотреть категорию, объектами которой являются $F$-алгебры, а морфизмами — гомоморфизмы между $F$-алгебрами.

Примеры

Для примера, рассмотрим эндофунктор $F : Set \to Set$, который отображает множество $X$ в $1 + X$. Здесь $Set$ является категорией множеств, $1$ является конечным объектом категории $Set$ (любое одноэлементное множество), а $+$ — операция копроизведения (дизъюнктное объединение). Тогда множество N натуральных чисел вместе с функцией $[\mathrm{zero},\mathrm{succ}] : 1+\mathbb{N} \to \mathbb{N}$, которая является копроизведением функций $\mathrm{zero} : 1 \to \mathbb{N}$ (которая всегда возвращает 0) и $\mathrm{succ} : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (которая отображает n в n+1), является $F$-алгеброй.