Функтор (математика)

У этого термина в программировании есть другое значение: «Функтор (программирование)». Все значения этого слова здесь.

Ф́унктор — это особый тип отображений между категориями, сохраняющих структуру. Их можно рассматривать как морфизмы в «категории» категорий. Такая «категория» будет являться категорией в обычном смысле только если её объекты — малые категории, в противном случае совокупность её объектов не является классом. Стандартный способ обойти подобные теоретико-множественные трудности — аксиома универсума Гротендика.

Определение

(Ковариантный) функтор $\mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ из категории $\mathcal{C}$ в категорию $\mathcal{D}$ — это отображение между классами объектов $\mathcal{F}\colon Ob\,\mathcal{C} \to Ob\,\mathcal{D}$ и множествами морфизмов между всевозможными парами объектов $\mathcal{F}\colon\mathrm{Hom}(A,B) \to \mathrm{Hom}(\mathcal{F}(A),\mathcal{F}(B))$, $A,B\in Ob\,\mathcal{C}$, такое что

• $\mathcal{F}(id_A) = id_{\mathcal{F}(A)}$
• $\mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(g)\circ \mathcal{F}(f)$.

Таким образом, функтор должен сохранять структуру композиции морфизмов. Аналогичным образом определяется контравариантный функтор, как отображение, обращающее стрелки и удовлетворяющее равенству

• $\mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(f)\circ \mathcal{F}(g)$.

Формально это функтор из двойственной категории $\mathcal{C}^{op}$ в $\mathcal{D}$.

На первый взгляд, контравариантный функтор можно также определить как функтор $\mathcal{C} \to \mathcal{D}^{op}$. Проблема возникает при рассмотрении категории таких функторов, ввиду изоморфизма функторных категорий

$\left[ \mathcal{C}^{op}, \mathcal{D} \right] \simeq \left[\mathcal{C}, \mathcal{D}^{op} \right]^{op}$

Первый выбор определения морфизма между контравариантными функторами естественнее, так как определение для ковариантных и контравариантных функторов при этом совпадает.

Примеры

Подчеркнём, что для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах. Несложно привести примеры различных функторов, совпадающих на объектах:

• Тождественный функтор $id\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ действует на морфизмах и объектах тождественно.
• Антитождественный функтор $(.)^{op}\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}^{op}$ действует на объектах тождественно и обращает все стрелки.

Некоторые другие примеры:

• Пусть $\mathcal{C}$ — подкатегория в категории $\mathcal{D}$, то есть $Ob(\mathcal{C}) \subset Ob(\mathcal{D})$ и $Hom(\mathcal{C})\subset Hom(\mathcal{D})$. В таком случае определён функтор вложения $I: \mathcal{C} \hookrightarrow \mathcal{D}$, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения подмножеств.

• Пусть $\mathcal{C}$ — конкретная категория, то есть определяемая как категория множеств $(s,\tau)$ с некоторой дополнительной структурой $\tau$, морфизмы которых есть сохраняющие эту структуру отображения (пример: категории групп, колец, множеств, топологических пространств). Забывающий функтор $U: \mathcal{C} \to \mathcal{S}et$ сопоставляет объектам $(s,\tau)$ категории их подлежащее множество $s$, а морфизмам — соответствующее отображение множеств. Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта. В топологии правый сопряжённый к $U$ сопоставляет множеству тривиальную топологию на нём. В теории топосов и пучков забывающий функтор есть частный случай понятия функтора точек.

• Эта конструкция обобщается на забывающие функторы $U: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$. Типична ситуация, когда категория $\mathcal{C}$ есть подкатегория в некоторой другой категории $\mathcal{D}$, выделенная дополнительным условием. В таком случае соответствующий функтор вложения подкатегории есть забывающий функтор. Например, полные метрические пространства образуют полную подкатегорию в категории всех метрических пространств. Левый сопряжённый к забывающему функтору есть функтор пополнения. Другой пример: пучки образуют полную подкатегорию в категории предпучков. Левый сопряжённый к забывающему функтору из пучков в предпучки есть функтор пучковизации.

• Функтор между предпорядками есть монотонное отображение соответствующих частично упорядоченных множеств.

• Функтор $Gal: \mathcal{F}ld^{op} \to \mathcal{G}rp$ сопоставляет полю $F$ его абсолютную группу Галуа $Gal(\bar F / F)$, а гомоморфизму полей — соответствующий гомоморфизм групп Галуа.

История

Функторы были впервые введены в алгебраической топологии, где алгебраические объекты связываются с топологическими пространствами, а их гомоморфизмы — с непрерывными отображениями. В настоящее время функторы используются в математике повсеместно для установления связей между различными категориями. Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Р. Карнапа. Согласно Карнапу, термин «функтор» относится к функциям так же, как утверждения — к свойствам. С точки зрения Карнапа, функтор — это лингвистическое понятие. Для современных категорных теоретиков функтор — это особый вид функции.

Литература

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.