Функтор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ф́унктор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов[en].

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа[1], при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию.[2]

Определение[править | править вики-текст]

(Ковариантный) функтор \mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D} из категории \mathcal{C} в категорию \mathcal{D} — это отображение, которое:

  • сопоставляет каждому объекту X\in\mathcal{C} объект \mathcal{F}(X)\in\mathcal{D},
  • сопоставляет каждому морфизму f:X\to Y в категории \mathcal{C} морфизм \mathcal{F}(f): \mathcal{F}(X) \to \mathcal{F}(Y) в категории \mathcal{D}. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
    • \mathcal{F}(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{\mathcal{F}(A)},
    • \mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(g)\circ \mathcal{F}(f).

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму f:X\to Y морфизм \mathcal{F}(f): \mathcal{F}(Y) \to \mathcal{F}(X)), сохраняющее тождественные морфизмы и и удовлетворяющее равенству:

\mathcal{F}(g\circ f) = \mathcal{F}(f)\circ \mathcal{F}(g).

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории \mathcal{C}^\mathrm{op}. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из \mathcal{C} в \mathcal{D}» говорят «функтор из \mathcal{C}^\mathrm{op} в \mathcal{D}» (или, иногда, «функтор из \mathcal{C} в \mathcal{D}^\mathrm{op}»).

Бифункторы и мультифункторы[править | править вики-текст]

Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор \mathrm{Hom} имеет вид \mathcal C^\mathrm{op} \times \mathcal C \to \mathbf{Set}.

Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на n переменных.

Примеры[править | править вики-текст]

Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

  • Пусть \mathcal{C} — подкатегория в категории \mathcal{D}. В таком случае определён функтор вложения I: \mathcal{C} \hookrightarrow \mathcal{D}, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
  • Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории \mathcal{C} в фиксированный объект категории \mathcal{D}, а каждый морфизм \mathcal{C} — в тождественный морфизм этого объекта.
  • Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
  • Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству X с отмеченной точкой x_0 можно сопоставить фундаментальную группу \pi_1(X, x_0), элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если f: X \to (Y) — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки x_0 можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки y_0. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из \pi(X, x_0) в \pi(Y, y_0). Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
  • Тензорное произведение: если \mathcal{C} — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}, ковариантный по обоим аргументам[3].

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функтор переводит любую коммутативную диаграмму в прообразе в коммутативную диаграмму в категории-образе.
  • Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
  • Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями из одного объекта взаимно-однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле, функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Связь с другими категорными понятиями[править | править вики-текст]

Пусть \mathcal{C} и \mathcal{D} — категории. Множество всех морфизмов \mathcal{F}\colon\mathcal{C}\to \mathcal{D} можно счиатать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Маклейн, с. 42
  2. R. Carnap. The Logical Syntax of Language, стр. 13-14. — Routledge & Kegan Paul, 1937.
  3. Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.

Литература[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «функтор»
  • Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4
  • И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
  • Jean-Pierre Marquis. Category Theory (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Проверено 30 июля 2013. Архивировано из первоисточника 13 августа 2013.