Задача Гурса

Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Историческая справка

Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящён отдельный параграф.

Постановка задачи

Пусть в области $\Omega$ задано гиперболическое уравнение $u_{xy}=F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})$ и краевое условие. Задача: найти регулярное в области $\Omega$ и непрерывное в замыкании ${\bar {\Omega }}$ решение по краевому условию.

В «Математической энциклопедии» краевое условие формулируется следующим образом:

$u(0,\,t)=\varphi (t),\;u(t,\,1)=\psi (t),\;\varphi (1)=\psi (0)$, где $\varphi$ и $\psi$ — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

В учебнике Тихонова, Самарского оно формулируется немного по-другому:

$u(x,\,0)=\varphi _{1}(x),\;u(0,\,y)=\varphi _{2}(y)$, где $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.

Нетрудно видеть, что это задача с данными на характеристиках уравнения. Эта задача примечательна тем, что для задания решения достаточно только двух функций (ср. с начально-краевой задачей).

В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае.

$u(x,\,\pi (x))=\varphi (x),\;u(\chi (y),\,y)=\psi (y)$

Решение

Существование решения

Если функция $F$ непрерывна для всех $(x,\,y)\in {\bar {\Omega }}$ и для любых $u,\;p=u_{x},\;q=u_{y}$ допускает производные $F_{u},\;F_{p},\;F_{q}$, которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области ${\bar {\Omega }}$ существует единственное и устойчивое решение.

Метод Римана

Основной источник: «Математическая Энциклопедия»

Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид $Lu\equiv u_{xy}+au_{x}+bu_{y}+cu=f$.

Вводится функция Римана $R(x,\,y;\;\xi ,\,\eta )$, которая однозначно определяется как решение уравнения

$R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0$,

удовлетворяющее условиям

$R(\xi ,\,y;\;\xi ,\,\eta )=\exp \int \limits _{\eta }^{y}a(\xi ,\,t)dt$

$R(x,\,\eta ;\;\xi ,\eta )=\exp \int \limits _{\xi }^{x}b(t,\,\eta )dt$

где $(\xi ,\,\eta )\in \Omega$ — произвольная точка.

Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при $\varphi =\psi \equiv 0$

$u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{x}d\xi \int \limits _{1}^{y}R(\xi ,\,\eta ;\;x,\,y)f(x,y)d\eta$

Метод последовательных приближений

Основной источник: учебник Тихонова, Самарского

Рассматривается два случая

1. $F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=f(x,\,y)$

Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу

$u(x,\,y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta$

Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.

1. $F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=au_{x}+bu_{y}+cu+f$

Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению

$u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}\left[au_{\xi }+bu_{\eta }+cu\right]d\xi d\eta +\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta$

Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение $u_{0}(x,\,y)=0$ подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность $\left\{u_{n}(x,\,y)\right\}$. Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится её предел $u(x,\,y)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(x,\,y)$. Этот предел и есть решение задачи.