Краевая задача

Краевая задача — дифференциальное уравнение (система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце интервала интегрирования.

Решение краевой задачи ищется в виде линейной комбинации решений однородных задач Коши, соответствующих заданному уравнению при линейно независимых векторах начальных условий, и решения неоднородной задачи Коши с произвольными начальными условиями.

Пример краевой задачи:

$\frac{dx}{dt} = A(t)x(t) + a(t), 0 \leqslant \ t \leqslant \ T$

(система неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, заданная на участке $[0; T]$)

Граничные условия (общий вид для всех краевых задач): $Cx(0)+Dx(T)=B$

Где $A, C, D$ — матрицы, $x$ — вектор неизвестных, $a$ — $n$-вектор (делающий систему неоднородной), $B$ — $n$-вектор

Общий вид решения:$x(t) = x_0(t) + \sum_{i=1}^n a_i x_i(t)$

Удовлетворение граничных условий достигается за счёт подбора коэффициентов $a_i$. Эти коэффициенты находятся путём решения системы линейных уравнений.

Численные методы решения краевой задачи

• Метод стрельбы
• Метод редукции

Ссылки

Аналитическое решение линейного ОДУ (задача Коши): http://twt.mpei.ac.ru/MAS/Worksheets/Lin_ODE.mcd

Литература

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X

• А.М. Ахтямов Теория идентификации краевых условий и ее приложения. - М. : Физматлит, 2009.
• А.М. Ахтямов, В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев Обратные задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. - М.: Изд-во Московского университета, 2009.