Комплекс (математика)

Компле́кс (от лат. compléxus — связь, сочетание) — одно из основных понятий комбинаторной топологии.

Комплексом называется частично упорядоченное правильным, рефлексивным и транзитивным отношением «$<$» множество $K$ каких-либо элементов $t$, вместе с некими функциями $\dim t$ и $[t:t']$.

Целочисленная функция $\dim t$ называется размерностью элемента $t$, функция $[t:t']$ — коэффициентом инцидентности элементов $t$ и $t'$. Эти функции должны удовлетворять следующим условиям:

1. из $t'<t$ следует, что $\dim t'<\dim t$;
2. $[t:t']=[t':t]$;
3. из $[t:t']\neq 0$ следует, что либо $t'<t$, либо $t<t'$, и $|\dim t-\dim t'|=1$;
4. для любой пары элементов $t$, $t'$ из $K$, для которых $|\dim t-\dim t'|=2$, в $K$ найдётся не более, чем конечное число таких элементов $t''$, что

$[t:t''][t'':t']\neq 0$ и $\sum _{t''}[t:t''][t'':t']=0$.

Связанные определения

При замене $[t:t']$ на $a(t)a(t')[t:t']$, где $a(t)$ — функция со значениями ±1, получается комплекс, отождествляемый с $K$. Таким образом, коэффициенты инциденции $[t:t']$ задаются с точностью до множителя $a(t)a(t')$. Переход от одного значения к другому называется переменой ориентации комплекса $K$.

Комплекс $K$ называется конечномерным ($n$-мерным), если существует такое $n$, равное максимальной размерности симплексов из $K$; в противном случае, он называется бесконечномерным. Комплекс $K$ называется конечным, если множество его элементов конечно.

Звездой элемента $t$ комплекса $K$ называется множество всех таких элементов $t'$ из $K$, для которых выполняется условие $t'>t$.

Замыканием элемента $t$ из $K$ называется множество всех таких элементов $t'$ из $K$, что $t'<t$.

Границей элемента $t$ из $K$ называется множество всех таких элементов $t'$ из $K$, что одновременно $t'<t$ и $t'\neq t$.

Элемент $t'$ называется гранью элемента $t$ из $K$, если $t'<t$. При $t'\neq t$ грань $t'$ элемента $t$ называется истинной гранью.

Элементы $t$ и $t'$ из $K$ называются инцидентными, если $t'<t$ или $t<t'$.

Подкомплексом комплекса $K$ называется любое подмножество множества $K$, являющееся комплексом при тех же размерностях и коэффициентах инцидентности, что и комплекс $K$.

Подкомплекс называется замкнутым, если он содержит замыкание каждого своего элемента, и открытым, если он содержит звезду каждого своего элемента. Дополнение замкнутого комплекса есть открытый комплекс, и наоборот. Звезда каждого элемента любого комплекса является открытым подкомплексом, а замыкание и граница — замкнутыми подкомплексами.

$r$-мерным остовом $K^{r}$ комплекса $K$ называется множество всех таких элементов $t$ из $K$, что $\dim t\leqslant r$. Остов является замкнутым подкомплексом.

Комплексы $K={t}$ и $L$ называется изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение $f$ множества $K$ на множество $L$, что $\dim f(t)=\dim t$ и $[t:t']=[f(t):f(t')]$:

$f\colon K\leftrightarrow L:\dim f(t)=\dim t\wedge [t:t']=[f(t):f(t')].$

Важнейшим типом комплекса является симплициальный комплекс.

Симплициальный комплекс имеет две разновидности:

• абстрактный комплекс;
• геометрический комплекс.