Разность множеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Venn A setminus B.svg

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как A\setminus B, но иногда можно встретить обозначение A-B и A\sim B.

Пусть A и B — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

A\setminus B=\{x\in A\mid x\not\in B\}.

Это множество часто называют дополнением множества B до множества A. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, X. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством A\subset X и его относительное дополнение X\setminus A, при обозначении которого часто опускается значок универсума: \setminus A; при этом говорится, что \setminus A — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что A\setminus B=A\cap(\setminus B), то есть дополнение множества B до множества A есть пересечение множества A и дополнения множества B.

Также применяется и операторная запись вида A^\complement, \complement_{X}A или (если опустить универсальное множество) \complement A.

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть A,\;B,\;C,\;D — произвольные множества.

A\setminus A=\varnothing.
  • Свойства пустого множества относительно разности:
\varnothing\setminus A=\varnothing;
A\setminus\varnothing=A.
  • Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
A\setminus B\subset A.
  • A\cup(B\setminus A)=A\cup B. Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
  • A\setminus B=A\setminus(A\cap B).
  • Разность не пересекается с вычитаемым:
A\cap(B\setminus A)=\varnothing.
  • Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
A\setminus B=\varnothing\Leftrightarrow A\subset B.
A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C);
A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C).
  • (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C);
  • A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C);
  • A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;
  • (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap(C\setminus A);
  • (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A, если C\cap A=\varnothing.
  • Если A\subset B и C\subset  D, то (A\setminus D)\subset(B\setminus C);
  • Если A\subset B, то для любого C выполняется (C\setminus B)\subset(C\setminus A). Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если a\leqslant b, то для любого c справедливо (c-b)\leqslant(c-a).

Компьютерные реализации[править | править вики-текст]

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

Дополнение множества[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума X, то определяется операция дополнения:

A^\complement=X\setminus A\equiv\{x\in X\mid x\not\in A\}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • A\cup A^\complement=X;
  • A\cap A^\complement=\varnothing.
В частности, если оба A и A^\complement непусты, то \{A,\;A^\complement\} является разбиением X.
  • X^\complement=\varnothing;
  • \varnothing^\complement=X;
  • (A\subset B)\Leftrightarrow(B^\complement\subset A^\complement).
(A^\complement)^\complement=A.
  • (A\cup B)^\complement=A^\complement\cap B^\complement;
  • (A\cap B)^\complement=A^\complement\cup B^\complement.
  • Законы разности множеств:
  • A\setminus B=A\cap B^\complement;
  • (A\setminus B)^\complement=A^\complement\cup B.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х.. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7