Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}.$

Следует отметить, что в то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах, его полное решение в целых числах на 2018 год неизвестно.

Примеры целочисленных решений

Наименьшие натуральные решения:

$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

$1^{3}+6^{3}+8^{3}=9^{3}$

$3^{3}+10^{3}+18^{3}=19^{3}$

$7^{3}+14^{3}+17^{3}=20^{3}$

$4^{3}+17^{3}+22^{3}=25^{3}$

$18^{3}+19^{3}+21^{3}=28^{3}$

$11^{3}+15^{3}+27^{3}=29^{3}$

$2^{3}+17^{3}+40^{3}=41^{3}$

$6^{3}+32^{3}+33^{3}=41^{3}$

$16^{3}+23^{3}+41^{3}=44^{3}$

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:

$-1^{3}+9^{3}+10^{3}=12^{3}$

$-2^{3}+9^{3}+15^{3}=16^{3}$

$-2^{3}+15^{3}+33^{3}=34^{3}$

$-2^{3}+41^{3}+86^{3}=89^{3}$

$-3^{3}+22^{3}+59^{3}=60^{3}$

== Полные рациональные параметризации == Аксиома степенных разложений Коржев-Виета-Пифагор-Ферма 9:4:19 Korjev ye5432@mail.ru Гипотеза. Для всех степенных разложений существует множество:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle x^n+(x+a)^n=(x+b)^n+(x+(a-b))^n-con^n(x,a,b)</math) ; [[Харди, Годфри Харолд|Г. Харди]] и Райт (1938)<ref>{{cite book|Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. |year=1938 |title=An introduction to the theory of numbers |edition=First ed. |place=Oxford |publisher=Clarendon Press}}</ref><ref>[http://lj.rossia.org/users/renuar911/6576.html Цитата из раздела "1.3.7 Уравнение <math>x^3+y^3+z^3=t^3} " из книги Харди и Райта]</ref>

• $x=-a(b-3c)(b^{2}+3c^{2})+a^{4}$

  $y=\quad a(b+3c)(b^{2}+3c^{2})-a^{4}$

  $z=\quad a^{3}(b-3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$

  $w=\quad a^{3}(b+3c)-(b^{2}+3c^{2})^{2}$

Н. Элкиес

${\begin{cases}x=d(-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t-s^{3}+rs^{2}-2r^{2}s-r^{3}),\\y=d(t^{3}-(s+r)t^{2}+(s^{2}+2r^{2})t+rs^{2}-2r^{2}s+r^{3}),\\z=d(-t^{3}+(s+r)t^{2}-(s^{2}+2r^{2})t+2rs^{2}-r^{2}s+2r^{3}),\\w=d((s-2r)t^{2}+(r^{2}-s^{2})t+s^{3}-rs^{2}+2r^{2}s-2r^{3})\end{cases}}$

Другие серии решений

Леонард Эйлер, 1740 год

• $x=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})$

  $y=-1+(a+3b)(a^{2}+3b^{2})$

  $z=-a-3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$

  $w=-a+3b+(a^{2}+3b^{2})^{2}$

Линник, 1940 год

• $x=b(a^{6}-b^{6})$

  $y=a(a^{6}-b^{6})$

  $z=b(2a^{6}+3a^{3}b^{3}+b^{6})$

  $w=a(a^{6}+3a^{3}b^{3}+2b^{6})$

• $x=a^{2}(b^{6}-7)+9ac-3c^{2}$

  $y=a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}+9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}+3)+3c^{2}$

  $z=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}+2)+3bc^{2}$

  $w=a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}+6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}+4)+3bc^{2}$

• $x=3a^{2}(b^{6}-7)-9ac-c^{2}$

  $y=3a^{2}{\big [}b^{3}(2b^{3}-9)+7{\big ]}-3ac(2b^{3}-3)+c^{2}$

  $z=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-6)+11{\big ]}-3abc(b^{3}-4)+bc^{2}$

  $w=3a^{2}b{\big [}b^{3}(b^{3}-3)+2{\big ]}-3abc(b^{3}-2)+bc^{2}$

Roger Heath-Brown[1], 1993 год

• $x=9a^{4}$

  $y=3a-9a^{4}$

  $z=1-9a^{3}$

  $w=1$

Морделл, 1956 год

• $x=9a^{3}b+b^{4}$

  $y=9a^{4}$

  $z=-b^{4}$

  $w=9a^{4}+3ab^{3}$

• $x=9a^{3}b-b^{4}$

  $y=9a^{4}-3ab^{3}$

  $z=b^{4}$

  $w=9a^{4}$

• $x=9a^{3}b+b^{4}$

  $y=9a^{3}b-b^{4}$

  $z=9a^{4}-3ab^{3}$

  $w=9a^{4}+3ab^{3}$

Решение, полученное методом алгебраической геометрии (en:Fermat cubic)

• $x=3a\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)-9$

  $y=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}-9a$

  $z=3\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a+b)+9$

  $w=\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)^{2}+9(a+b)$

Рамануджан

• $x=3a^{2}+5ab-5b^{2}$

  $y=4a^{2}-4ab+6b^{2}$

  $z=5a^{2}-5ab-3b^{2}$

  $w=6a^{2}-4ab+4b^{2}$

• $x=a^{7}-3a^{4}(1+b)+a(2+6b+3b^{2})$

  $y=2a^{6}-3a^{3}(1+2b)+1+3b+3b^{2}$

  $z=a^{6}-1-3b-3b^{2}$

  $w=a^{7}-3a^{4}b+a(3b^{2}-1)$

• $x=-a^{2}+9ab+b^{2}$

  $y=a^{2}+7ab-9b^{2}$

  $z=2a^{2}-4ab+12b^{2}$

  $w=2a^{2}+10b^{2}$

Неизвестный автор, 1825 год

• $x=a^{9}-3^{6}$

  $y=-a^{9}+3^{5}a^{3}+3^{6}$

  $z=3^{3}a^{6}+3^{5}a^{3}$

  $w=3^{2}a^{7}+3^{4}a^{4}+3^{6}a$

Д. Лемер, 1955 год

• $x=3888a^{10}-135a^{4}$

  $y=-3888a^{10}-1296a^{7}-81a^{4}+3a$

  $z=3888a^{9}+648a^{6}-9a^{3}+1$

  $w=1$

В. Б. Лабковский

• $x=4b^{2}-11b-21$

  $y=3b^{2}+11b-28$

  $z=5b^{2}-7b+42$

  $w=6b^{2}-7b+35$

Харди и Райт

• $x=a(a^{3}-2b^{3})$

  $y=b(2a^{3}-b^{3})$

  $z=b(a^{3}+b^{3})$

  $w=a(a^{3}+b^{3})$

• $x=a(a^{3}-b^{3})$

  $y=b(a^{3}-b^{3})$

  $z=b(2a^{3}+b^{3})$

  $w=a(a^{3}+2b^{3})$

Г. Александров, 1972 год

• $x=7a^{2}+17ab-6b^{2}$

  $y=42a^{2}-17ab-b^{2}$

  $z=56a^{2}-35ab+9b^{2}$

  $w=63a^{2}-35ab+8b^{2}$

• $x=7a^{2}+17ab-17b^{2}$

  $y=17a^{2}-17ab-7b^{2}$

  $z=14a^{2}-20ab+20b^{2}$

  $w=20a^{2}-20ab+14b^{2}$

• $x=21a^{2}+23ab-19b^{2}$

  $y=19a^{2}-23ab-21b^{2}$

  $z=18a^{2}+4ab+28b^{2}$

  $w=28a^{2}+4ab+18b^{2}$

• $x=3a^{2}+41ab-37b^{2}$

  $y=37a^{2}-41ab-3b^{2}$

  $z=36a^{2}-68ab+46b^{2}$

  $w=46a^{2}-68ab+36b^{2}$

• $x=-4a^{2}+22ab-9b^{2}$

  $y=36a^{2}-22ab+b^{2}$

  $z=40a^{2}-40ab+12b^{2}$

  $w=48a^{2}-40ab+10b^{2}$

Ajai Choudhry, 1998 год

• $dx_{1}=(a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4})+(2a+b)c^{3},$

  $dx_{2}=-\{a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+2ab^{3}+b^{4}-(a-b)c^{3}\},$

  $dx_{3}=c(-a^{3}+b^{3}+c^{3}),$

  $dx_{4}=-\{(2a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3})c+c^{4}\},$

где числа $a,b,c$ — произвольные целые, а число $d\neq 0$ выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=1$.

Коровьев, 2012 год

• $x=-(2a^{2}-2ab-b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$

  $y=\quad (2a^{2}-2ab-b^{2})c^{3}d+(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$

  $z=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})c^{3}d-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}d^{4}$

  $w=\quad (a^{2}+2ab-2b^{2})cd^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})^{2}c^{4}$

где $a$, $b\,,\,c$ и $d$ — любые целые числа.

См. также

• Гипотеза Эйлера

Литература

• Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
• В. Серпинский. §15. Решение уравнений в рациональных числах // О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
• E. Rowland. "Known families of integer solutions to $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$" (PDF). {{cite journal}}: Cite journal требует |journal= (справка) (недоступная ссылка)
• Решение Лабковского (Задание №2)
• Сизый С. В. 20. Сравнения любой степени по простому модулю // Лекции по теории чисел: Учебное пособие для математических специальностей. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation—3rd Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.