Гипотеза Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы -х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения:

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

В то время как гипотеза Эйлера была опровергнута для n = 4 и n = 5, для n = 6 она по-прежнему остается открытой проблемой.

Контрпримеры[править | править вики-текст]

n = 5[править | править вики-текст]

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. L. Selfridge) нашли первый контрпример для n = 5:[1][2]

n = 4[править | править вики-текст]

В 1986 году Элкис (англ.) нашёл контрпример для случая n = 4:[3][4]

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:[5][4]

Обобщения[править | править вики-текст]

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. Selfridge) высказали гипотезу, что если , где — положительные целые числа, , то .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если , то .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству , где , называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[6] и yoyo@home.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
  2. L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge (1967). «A survey of equal sums of like powers». Math. Comp. 21: 446-459. DOI:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
  3. Noam Elkies (1988). «On A4 + B4 + C4 = D4». Mathematics of Computation 51 (184): 825–835. DOI:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9.
  4. 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project, 2011, препринт.
  5. Frye, Roger E. (1988), "Finding 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, сс. 106–116, DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138 
  6. EulerNet

Ссылки[править | править вики-текст]