Гипотеза Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры[править | править код]

n = 5[править | править код]

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж[en] нашли первый контрпример для n = 5:[1][2]

n = 4[править | править код]

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая n = 4:[3][4]

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:[5][4]

Обобщения[править | править код]

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж[en] высказали гипотезу, что если , где — положительные целые числа, , то .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если , то .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству , где , называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet[6] и yoyo@home.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
  2. L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge. A survey of equal sums of like powers (англ.) // Math. Comp. (англ.) : journal. — 1967. — Vol. 21. — P. 446—459. — DOI:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
  3. Noam Elkies. On A4 + B4 + C4 = D4 (рум.) // Mathematics of Computation (англ.). — 1988. — Т. 51, nr. 184. — P. 825—835. — DOI:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9.
  4. 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project, 2011, препринт.
  5. Frye, Roger E. (1988), "Finding 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, с. 106–116, DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138 
  6. EulerNet.

Ссылки[править | править код]