Диофантово уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида

где Pцелочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

Также, при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так уравнение

с параметрами и неизвестными считается разрешимым при данных значениях набора параметров , если существуют набор чисел при которых это равенство становится верным.

Примеры[править | править код]

  • :
  • гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 это уравнение неразрешимо в натуральных числах , то есть, никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы n-1 n-х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для n = 4 и n = 5.
  • , где параметр n не является точным квадратом — уравнение Пелля.
  • , где , — уравнение Каталана.
  • при и уравнение Туэ.

Линейные диофантовы уравнения[править | править код]

Общий вид линейного диофантова уравнения:

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

Если (то есть наибольший общий делитель не делит ), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если , то число, стоящее слева в (1), делится на , а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении выполняется , то оно разрешимо в целых числах.

Пусть  — частное решение уравнения . Тогда все его решения находятся по формулам:

Частное решение можно построить следующим образом. Если и делится на , то после деления всех коэффициентов на уравнение приобретает вид , где . Для последнего уравнения частное решение получается из соотношения Безу для :

исходя из которого, можно положить

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения[1]:

где  — функция Эйлера, а t — произвольный целый параметр.

Алгебраические диофантовы уравнения[править | править код]

При рассмотрении вопроса разрешимости алгебраических диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).

Диофантовы множества[править | править код]

Диофантовым множеством называется множество состоящее из упорядоченных наборов из n целых чисел, для которого существует алгебраическое диофантово уравнение:

которое разрешимо тогда и только тогда, когда набор чисел принадлежит этому множеству. Рассматриваемое диофантово уравнение называется диофантовым представлением этого множества. Важный результат, полученный Ю. В. Матиясевичем, состоит в том, что каждое перечислимое множество имеет диофантово представление[2].

Неразрешимость в общем виде[править | править код]

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.[3]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. — М.: Наука, 1988. — С. 60. — 96 с. — (Популярные лекции по математике).
  2. Диофантово множество — статья из Математической энциклопедии. Ю. В. Матиясевич
  3. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — М.: Наука, 1993.

Ссылки[править | править код]