Диофантово уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Диофа́нтово уравнение — это уравнение вида

Здесь целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. «Диофантовым» уравнение названо в честь древнегреческого математика Диофанта.

Также, при рассмотрении вопроса разрешимости переменные часто разделяют на параметры (значения которых предполагаются фиксированными) и неизвестные. Так уравнение

с параметрами и неизвестными считается разрешимым при данных значениях набора параметров , если существуют набор чисел при которых это равенство становится верным.

Примеры[править | править код]

  • :
  • гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 это уравнение неразрешимо в натуральных числах , то есть, никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы n-1 n-х степеней других натуральных чисел. Гипотеза является обобщением великой теоремы Ферма, но была опровергнута для n = 4 и n = 5, после чего была выдвинута гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.
  • , где параметр n не является точным квадратом — уравнение Пелля.
  • , где , — уравнение Каталана, которое имеет единственное решение .
  • при и уравнение Туэ.

Линейные диофантовы уравнения[править | править код]

Общий вид линейного диофантова уравнения:

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

Если (то есть наибольший общий делитель не делит ), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если , то число, стоящее слева в (1), делится на , а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении выполняется , то оно разрешимо в целых числах.

Пусть  — частное решение уравнения . Тогда все его решения находятся по формулам:

Частное решение можно построить следующим образом. Если и делится на , то после деления всех коэффициентов на уравнение приобретает вид , где . Для последнего уравнения частное решение получается из соотношения Безу для :

исходя из которого, можно положить

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения[1]:

где  — функция Эйлера, а t — произвольный целый параметр.

Алгебраические диофантовы уравнения[править | править код]

При рассмотрении вопроса разрешимости алгебраических диофантовых уравнений можно воспользоваться тем, что любую систему таких уравнений можно преобразовать в одно диофантово уравнение степени не выше 4 в целых неотрицательных числах, разрешимое в том и только том случае, когда разрешима исходная система (при этом множество переменных и множество решений этого нового уравнения может оказаться совершенно другим).

Диофантовы множества[править | править код]

Диофантовым множеством называется множество состоящее из упорядоченных наборов из n целых чисел, для которого существует алгебраическое диофантово уравнение:

которое разрешимо тогда и только тогда, когда набор чисел принадлежит этому множеству. Рассматриваемое диофантово уравнение называется диофантовым представлением этого множества. Важный результат, полученный Ю. В. Матиясевичем, состоит в том, что каждое перечислимое множество имеет диофантово представление[2].

Неразрешимость в общем виде[править | править код]

Десятая проблема Гильберта, сформулированная в 1900 году, состоит в нахождении алгоритма решения произвольных алгебраических диофантовых уравнений. В 1970 году Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость этой проблемы.[3]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. — М.: Наука, 1988. — С. 60. — 96 с. — (Популярные лекции по математике).
  2. Диофантово множество — статья из Математической энциклопедии. Ю. В. Матиясевич
  3. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — М.: Наука, 1993.

Ссылки[править | править код]

  • Башмакова, Изабелла Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
  • Башмакова, Изабелла Г., Славутин Е.И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
  • Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
  • Bashmakova, Izabella G. “Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré,” Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
  • Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
  • Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. — 1980. — № 6. — С. 16-17,35.
  • Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
  • Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.
  • Серпинский В. Н. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
  • Степанов С. А. Диофантовы уравнения // Тр. МИАН СССР. — 1984. — Т. 168. — С. 31–45.
  • Weisstein, Eric W. Diophantine Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.