Аксиомы Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Формулировки[править | править код]

Словесная[править | править код]

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число непосредственно следует как за числом , так и за числом , то и тождественны;
  5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа , вытекает, что оно верно для следующего за натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая[править | править код]

Математическая формулировка использует функцию следования[en] , которая сопоставляет числу следующее за ним число.

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. .

Возможна и иная форма записи:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание верно для (база индукции) и для любого из верности следует верность и (индукционное предположение), то верно для любых натуральных .

Формализация арифметики[править | править код]

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

О неполноте[править | править код]

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например теорема Гудстейна или теорема Париса–Харрингтона.

Категоричность[править | править код]

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) такая, что и для всех .

Поэтому достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Тем не менее, как и любая другая аксиоматическая система, аксиоматика Пеано допускает модели, совершенно не похожие на задуманную (то есть на натуральный ряд). Например, из неё не вытекает, что от каждого натурального числа можно перейти к любому другому за конечное число шагов (с помощью функции или обратной для неё). Если, например, дописать к натуральному ряду некоторое счётное числовое множество без минимального элемента, то аксиомы Пеано не нарушаются, однако указанное свойство перехода не будет иметь места[3][4].

История[править | править код]

Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[5]. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана (англ.) в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Примечания[править | править код]

  1. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
  2. Доказательство единственности натуральных чисел. Дата обращения: 4 февраля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.
  3. Bunch, Bryan. Mathematical Fallacies and Paradoxes. Chapter «Model Paradox». — Dover Publications, 1997. — 240 p. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647.
  4. Селезнёв В. А.. Элементы математического формализма для филологов. — Новосибирск : НГТУ, 2000. — С. 11, 57—58. — 68 с.
  5. Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37. — 292 с. — (Элементы математики).

Литература[править | править код]