Биекция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Биективная функция.

Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно однозначным отображением (соответствием), одно-однозначным отображением.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения теории множеств, равномощные множества неразличимы.

Взаимно однозначное отображение конечного множества в себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.

Определение[править | править код]

Функция называется биекцией (и обозначается ), если она:

  1. Переводит разные элементы множества в разные элементы множества (инъективность). Иными словами,
    • .
  2. Любой элемент из имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
    • .


Примеры[править | править код]

  • Тождественное отображение  на множестве биективно.
  •  — биективные функции из в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из в себя.
  •  — биективная функция из в .
  • не является биективной функцией, если считать её определённой на всём .
  • Строго монотонная и непрерывная функция является биекцией из отрезка на отрезок .

Свойства[править | править код]

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.
  • Функция является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция такая, что
и
  • Если функции и биективны, то и композиция функций биективна, в этом случае . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, однако, неверно: если биективна, то мы можем утверждать лишь, что инъективна, а сюръективна.

Применения[править | править код]

В информатике[править | править код]

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей.

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.  Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб: Лань, 2004. — 336 с.