Арифметическая производная
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 мая 2022 года; проверки требуют 2 правки.
Арифметическая производная (производная Лагариаса, числовая производная) — функция, определённая для целых чисел, основанная на факторизации целых чисел, таким образом, что для неё действует аналог правила произведения для производных. Стандартным обозначением для натурального числа является ; оно определяется следующим образом:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F.png/366px-%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F.png)
- ,
- для любого простого числа ,
- для любых (правило произведения).
Область определения может быть расширена на целые числа: пользуясь тем фактом, что , устанавливается, что :
- ,
таким образом, для любого целого :
- .
Для арифметической производной также применимо правило производной частного двух функций (что позволяет расширить область определения до рациональных чисел):
- ;
отсюда следует:
Также применимо и правило производной степени функции:
- для любого целого числа и ,
- для любого простого числа и любого целого числа [2],
- для любого простого числа .
Примечания
[править | править код]- ↑ последовательность A003415 в OEIS
- ↑ Arithmetic derivative - OeisWiki . oeis.org. Дата обращения: 24 мая 2022. Архивировано 24 мая 2022 года.
Для улучшения этой статьи желательно:
|