Бет-число

Для термина «Бет» см. также другие значения.

Числа бет ($\beth$) в математике — кардинальные числа, характеризующие мощность бесконечного множества. Последовательность бесконечных кардинальных чисел обычно записывается как $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$, где $\beth$ названа по второй букве еврейского алфавита (бет).

Числа бет являются частью иерархии алефов ($\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$). Начинаются они одинаково: $\beth _{0}=\aleph _{0},$ а расположение $\beth _{1}$ среди алефов зависит от континуум-гипотезы. Если принять континуум-гипотезу, то $\beth _{1}=\aleph _{1}$ (мощность континуума), верно и обратное. Если принять более мощную обобщённую континуум-гипотезу, то обе иерархии полностью совпадают: $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ для любого индекса $\alpha .$ Если же принять, что континуум-гипотеза неверна, то существует много $\aleph$, которые не являются $\beth$.

Определение

Общее определение для конечных индексов:

$\beth _{0}=\aleph _{0}$

$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}$

Для бесконечных индексов:

$\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

Примеры.

• бет-ноль (${\displaystyle \beth _{0}}$) — равен ${\displaystyle \aleph _{0}}$.
• бет-один ($\beth _{1}$) — множество континуума.
• бет-два ($\beth _{2}$) — 2^c, например, множество подмножеств действительных чисел.
• бет-омега ($\beth _{\omega }$) — наименьший неисчислимый сильный кардинальный предел.

Литература

• Forster T. E. Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 — Beth number is defined on page 5.
• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction (англ.). — reprint of 1974. — Dover Publications, 2006. — ISBN 0-486-44979-3. See pages 6 and 204—205 for beth numbers.
• Roitman, Judith. Introduction to Modern Set Theory (англ.). — Virginia Commonwealth University, 2011. — ISBN 978-0-9824062-4-3. See page 109 for beth numbers.

Ссылки

• Кардиналы и ординалы  (неопр.). https://www.math.wisc.edu/.