Континуум (теория множеств)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества . Любое континуальное множество содержит счётное подмножество.
  • Континуум — мощность булеана счётного множества.
  • Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов . Любое континуальное множество содержит подмножество мощности . Предположение о том, что называется континуум-гипотезой.
  • Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
  • При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, конфинальность (англ.) континуума — несчётна.

Примеры[править | править вики-текст]

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

  • Все точки отрезка .
  • Все точки плоскости (или ), например — множество всех комплексных чисел.
  • Множество всех иррациональных чисел.
  • Множество всех трансцендентных чисел.
  • Множество всех подмножеств счётного множества.
  • Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
  • Множество всех счётных множеств натуральных чисел.
  • Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
  • Множество всех непрерывных функций .
  • Множество всех открытых подмножеств плоскости (или ).
  • Множество всех замкнутых подмножеств плоскости (или ).
  • Множество всех борелевских подмножеств плоскости (или ).
  • Канторово множество