Гипотеза Бибербаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Бибербаха — доказанное предположение, высказанное в 1916 году немецким учёным Л. Бибербахом относительно верхней границы коэффициентов разложения однолистных функций в ряд Тейлора.

Обозначим \Delta — открытый единичный круг комплексной плоскости: \Delta=\{z:|z|<1\}.

S — множество всех аналитических и однолистных в \Delta функций f(z), имеющих разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля вида:

f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}c_nz^n.

По гипотезе коэффициенты |c_n|\leqslant n, причём c_n=n только для функций Кёбе вида

k_\theta(z)=\frac{z}{(1-ze^{i\theta})^2}.

История доказательства гипотезы[править | править вики-текст]

  • 1916 год — высказана гипотеза. Бибербахом доказана справедливость гипотезы при n=2.
  • 1923 год — доказана гипотеза для n = 3. Автор доказательства — К. Лёвнер, для доказательства был создан параметрический метод Лёвнера.
  • 1955 год — доказательство для n = 4. Авторы — Гарабедян, Шиффер. Метод, использованный при доказательстве, был назван методом Шиффера.
  • 1968, 1969 годы — две независимые работы с доказательством гипотезы для n=6 — Педерсон, Одзава.
  • 1972 год — доказана гипотеза для n=5 — Педерсон, Шиффер.

  • 1925 год — Литтльвуз доказывает, что |c_n|\leqslant e\cdot n для любого n.
  • 1951 год — Базилевич, Милин Исаак Моисеевич: доказано соотношение |c_n|\leqslant e/2\cdot n+\mathrm{const}.
  • 1965 год — Милин: |c_n|\leqslant 1{,}243\cdot n.
  • 1971 год - Милин: высказывает предположение, что сконструированная им последовательность логарифмических функционалов ( функционалы Милина) неположительна для любой функции из класса S и отмечает, что это свойство влечет доказательство гипотезы Бибербаха.
  • 1972 год — Фитцжеральд: |c_n|\leqslant\sqrt{7/6}n.
  • 1984 год — доказательство верности гипотезы Бибербаха, автор — Луи де Бранж.