Ряд Тейлора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора[1] — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение[править | править вики-текст]

Рядом Тейлора функции f(x), бесконечно дифференцируемой в точке {a}, называется функциональный формальный ряд

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k с параметром a.

То есть, рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки a называется степенной ряд относительно двучлена x - a вида f(a) + {f'(a) \over 1!}(x - a) + {f''(a) \over 2!}(x - a)^2 + ... + {f^{(n)}(a) \over n!}(x - a)^n + ...[2]

В случае, если a=0, этот ряд также называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция[править | править вики-текст]

Функция f(x) называется аналитической на некотором открытом интервале, содержащем в себе точку a (т.е. в открытой окрестности точки a), если она представима в виде бесконечного сходящегося степенного функционального ряда на этом интервале: f(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{b_k}{{(x - a)}^k}} .

Степенной ряд может быть продифференцирован любое количество раз. Значит, функция f(x) бесконечно дифференцируема на данном интервале. Если взять k-ю производную от функции f(x), а затем подставить в нее x=a, получится {b_k} = \frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}. Но в таком случае f(x)=\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k. Отсюда следствие: функция f(x) является аналитической на некотором открытом интервале тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора на этом интервале.

Аналитическая функция вовсе не обязательно равна своему ряду Тейлора в любой точке своей области определения. Ряд Тейлора как и любой другой функциональный ряд имеет свою область сходимости. И аналитическая функция может быть равна своему ряду Тейлора только в этой области.

Например, функция f(x) = \frac{1}{{1 - x}} может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: \frac{1}{{1 - x}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{x^k}} (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако, если функция \frac{1}{{1 - x}} определена для всех действительных чисел, кроме точки x=1 , то ряд  \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{x^k}} сходится только при условии  |x|<1 .

Неаналитическая функция[править | править вики-текст]

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Такие функции не являются аналитическими. Коши предложил такой пример: f(x)=
\left\{
\begin{matrix}
0,&\ \ x=0\\
e^{-\frac{1}{x^2}} &\ \ x\not=0
\end{matrix}
\right.,\ \  a=0. У этой функции все производные в точке x=0 равны нулю, поэтому все коэффициенты ряда Тейлора с параметром a=0 равны нулю. Это означает, что такой ряд Тейлора в любой точке x равен нулю, т.е. он тождественно равен нулю. Но сама функция f(x), очевидно, не равна тождественно нулю. Значит, функция f(x) совпадает со своим рядом Тейлора в единственной точке x=0. Значит, не существует такой окрестности точки a=0, что функция совпадает в ней со своим рядом Тейлора, поэтому такая функция не является аналитической.

Что если рассмотреть ряд Тейлора для другого значения параметра a, не равного нулю? Сможет ли в этом случае функция Коши стать аналитической?

Можно доказать, что ряд Тейлора, как функция переменной x, не зависит от параметра a (т.е. является константой от a). Это значит, как бы ни менялось значение параметра a, ряд Тейлора, как функция аргумента x, не изменит своего вида. Может измениться только область его сходимости. Но в таком случае функция Коши не совпадает со своим рядом Тейлора даже в точке x=a , т.е. она в любом случае не станет аналитической.

Формула Тейлора[править | править вики-текст]

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция f(x) имеет n+1 производную на отрезке с концами a и x, то для произвольного положительного числа p найдётся точка \xi, лежащая между a и x, такая, что

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi).


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена[править | править вики-текст]

В форме Лагранжа:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1

В форме Коши:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1

В интегральной форме:

R_{n+1}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt

Ослабим предположения:

  • Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в некоторой окрестности точки a и n-ю производную в самой точке a, тогда:
В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):
R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ]~

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править вики-текст]

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править вики-текст]

Пусть функция f(x,y) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Введём дифференциальный оператор

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции f(x,y) по степеням (x-x_0)^k и (y-y_0)^k в окрестности точки (x_0, y_0) будет иметь вид

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

где R_n(x,y) — остаточный член в форме Лагранжа:

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]

В случае функции одной переменной \mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac d {dx}, поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе \mathrm{T}.

Формула Тейлора для большого числа переменных[править | править вики-текст]

Для разложения в ряд Тейлора функции n переменных f(x_1, x_2, ... x_n), которая в некоторой окрестности точки (x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0}) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

\mathrm{T}=(x_1-x_{10})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-x_{20})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-x_{n0})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.

Тогда разложение функции в ряд Тейлора по степеням (x_i-x_{i0})^k в окрестности точки (x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0}) имеет вид

f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0})} {k!} + R_m(x_1, x_2, ... x_n),

где R_m(x_1, x_2, ... x_n) — m-тый член ряда.

Пример разложения в ряд Тейлора функции большого числа переменных[править | править вики-текст]

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных x, y и z в окрестности точки (0, 0, 0) до второго порядка малости. Оператор T будет иметь вид

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_2(x, y, z) =
= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_2(x, y, z);

Учитывая, что

T^2 = 
x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

получим

f(x, y, z)=  f_0 +

x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z} 

+ \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +

+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z}

+ R_2(x, y, z).

Например, при f(x,y,z)=e^{x+y+z},

f(x, y, z)=  1 + x + y + z  
+ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2}
+ xy + xz + yz + R_2(x, y, z).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
  2. Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
  3. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой \arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2}, где \arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x

Литература[править | править вики-текст]