Ряд Тейлора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора[1] — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение[править | править вики-текст]

Рядом Тейлора функции , бесконечно дифференцируемой в точке , называется функциональный формальный ряд

с параметром .

То есть, рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида [2]

В случае, если , этот ряд также называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция[править | править вики-текст]

Функция называется аналитической в точке , если она представима в виде бесконечного сходящегося степенного функционального ряда на некотором открытом интервале, содержащем в себе точку : .

Степенной ряд в своей области сходимости может быть продифференцирован любое количество раз, и полученная таким образом функция будет иметь ту же область сходимости. Значит, функция бесконечно дифференцируема на данном интервале (содержащем ). Если взять -ю производную от функции , а затем подставить в нее , получится . Но в таком случае . Отсюда следствие: функция является аналитической в точке тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром на некотором открытом интервале, содержащем точку .

Может возникнуть закономерный вопрос: если функция может быть задана степенным рядом из степеней на некотором интервале, содержащем точку , представима ли она этим рядом в самой точке ? Ведь в этом случае возникает неопределенность вида :

Такая неопределенность снимается конвенционально (то есть по соглашению): принято считать, что в данном случае , поэтому для любых из области сходимости, в том числе .

Условие открытости интервала в определении аналитической функции является существенным. Действительно, в одной единственной точке функция , бесконечно дифференцируемая в , всегда равна своему ряду Тейлора с параметром просто по соглашению: - это тривиальный результат, верный для любой такой функции, а не только аналитической. Но этот результат ничего и не дает, поскольку является тавтологией, в то время как смысл ряда Тейлора заключается именно в возможности приблизительно вычислять значение хоть в какой-то окрестности , если известны все производные в . Поэтому смысл аналитической функции заключается в том, что она равна своему ряду Тейлора хоть в какой-то области, а не в одной единственной точке.

Если принять в определении аналитической функции, что такая функция может быть задана своим рядом Тейлора не на открытом интервале, содержащем , а на полуинтервале или отрезке, в этом случае точка может быть границей такого промежутка, и некоторые функции, не считающиеся аналитическими по общепринятому определению, могут стать таковыми.

Например, производная любого порядка функции в точке равна нулю (смотреть, например, англ. "Неаналитические гладкие функции"). Значит, ряд Тейлора этой функции с параметром тождественно равен нулю (для любого ). Тогда существует такой отрезок (например, ), содержащий в себе точку , на котором функция всюду равна своему ряду Тейлора. Получается, функция является аналитической в точке .

С другой стороны, не существует двухсторонней окрестности точки (открытого интервала, содержащего ) такого, что на нем функция всюду равна своему ряду Тейлора с параметром . Значит, функция не является аналитической в точке по общепринятому определению.

Понятно, что это своего рода формализм (то есть опять-таки вопрос договоренности). Тем не менее, общий смысл таков, что для некоторых функций их ряд Тейлора для некоторых значений параметра равен самой функции в одной единственной точке любой (сколь угодно малой) окрестности . В этом случае говорят, что функция не является аналитической в точке . Например, функция в точке не является аналитической ни по одному из определений. Однако далее везде будет использовано общепринятое определение аналитической функции (с открытым интервалом).

Функция называется аналитической на промежутке, если она является аналитической в каждой точке этого промежутка.

Область сходимости ряда Тейлора[править | править вики-текст]

Аналитическая функция вовсе не обязательно равна своему ряду Тейлора в любой точке своей области определения. Ряд Тейлора как и любой другой функциональный ряд имеет свою область сходимости. И аналитическая функция может быть равна своему ряду Тейлора только в этой области.

Например, функция может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако, если функция определена для всех действительных чисел, кроме точки , то ряд сходится только при условии .

Поскольку ряд Тейлора является степенным рядом, можно определить радиус его сходимости. Например, по формуле Даламбера: .

Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси для любого параметра .

Неаналитическая функция[править | править вики-текст]

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Такие функции не являются аналитическими. Коши предложил в качестве примера такой функции функцию . Здесь и далее будем называть эту функцию функцией Коши.

Ясно, что функция Коши - это исправленная функция , дополненная в точке своего разрыва своим пределом.

У функции Коши все производные в точке равны нулю, поэтому все коэффициенты ряда Тейлора для этой функции с параметром равны нулю. Это означает, что такой ряд Тейлора в любой точке равен нулю, т.е. он тождественно равен нулю. Но сама функция , очевидно, не равна тождественно нулю (она равна нулю в единственной точке ). Значит, функция совпадает со своим рядом Тейлора в единственной точке . Значит, не существует такой окрестности точки , что функция совпадает в ней со своим рядом Тейлора, поэтому такая функция не является аналитической в точке .

Заметим, что во всех остальных точках функция Коши аналитической является.

Зависимость ряда Тейлора от параметра[править | править вики-текст]

Можно продемонстрировать, что ряд Тейлора как функция аргумента не зависит от своего параметра . Для этого достаточно найти частную производную ряда Тейлора по его параметру:

Как видно, производная ряда по тождественно равна нулю, поэтому сам ряд является константой от , т.е. не зависит от . Однако данная независимость весьма специфическая. Например, ряд Тейлора для функции Коши при тождественно равен нулю, при он равен (хотя бы в некоторой окрестности точки ). Очевидно, что . Однако отсюда невозможно сделать вывод, что , и что ряд Тейлора, как функция аргумента , при любом имеет один и тот же вид.

Дело здесь в том, что ряд Тейлора, как функция аргумента , даже если и равен константе, то не всегда одной и той же константе, т.е. он не всегда является непрерывной функцией. Это значит, что, например, для ряд может быть равен , для ряд может быть равен , где . При этом константы и могут быть некоторыми функциями от . Раскладываемая функция в точке не является аналитической. Действительно, по теореме о непрерывности функционального ряда, из разрывности в точке суммы ряда функций следует, что хотя бы одна из функций терпит разрыв в этой точке. А это значит, что у функции хотя бы одна из производных не существует.

Примером такой функции может быть функция , где и - некоторые аналитические функции, не равные друг другу ни в одной точке (кроме, быть может, ). В точке функция может быть и определена, и даже непрерывна и дифференцируема несколько раз, но точно не будет аналитической. Понятно, что функция может быть равна своему ряду Тейлора только справа или слева от , в зависимости от того, справа или слева от находится параметр ряда .

От параметра ряда Тейлора также зависит область его сходимости. Например, разложим в общем случае (для произвольного ) в ряд Тейлора функцию : .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента , при любых значениях (кроме ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством . И теперь эта область зависит от . Например, для ряд сходится при . Для ряд сходится при .

Формула Тейлора[править | править вики-текст]

Предположим, что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку . Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка включительно в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид , т.е. это -я частичная сумма ряда Тейлора функции . Разница между функцией и многочленом называется остаточным членом и обозначается . Формула называется формулой Тейлора[3]. Легко догадаться, что остаточный член дифференцируем раз в рассматриваемой окрестности точки . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция имеет производную на отрезке с концами и , то для произвольного положительного числа найдётся точка , лежащая между и , такая, что


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена[править | править вики-текст]

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

  • Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки и -ю производную в самой точке , тогда:
В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

Критерий аналитичности функции[править | править вики-текст]

Основной источник: [4]

Предположим, что некоторую функцию нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (т.е. буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке , и ее ряд Тейлора с параметром может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку . Пусть ряд Тейлора с параметром такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех из окрестности по формуле Тейлора можно записать , где - ряд Тейлора.

Очевидно, что функция является аналитической в точке тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки существует непрерывная область такая, что для всех остаточный член ее разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом : .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию . Ее ряд Тейлора сходится на всей оси для любых параметров . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид , где - некоторое число, заключенное между и (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно, .

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых и .

Признак аналитичности функции[править | править вики-текст]

Признаком (или достаточным условием) некоторого утверждения называется такое условие, из верности которого следует верность самого утверждения.

Признак аналитичности: если функция , которую нужно разложить в точке , может быть продолжена на некоторую открытую область комплексной плоскости, содержащую , и полученное продолжение является комплексно аналитическим (или, по-другому, голоморфным) в этой области, то полученный ряд Тейлора сходится (в какой-то окрестности) точки к данной функции.

Под продолжением функции нужно понимать функцию , в которую вместо действительного аргумента подставлен комплексный аргумент , а сама она, кроме действительных значений, начинает принимать еще и мнимые.

Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция , для которой в некоторой односвязной области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий (на самом деле, выполняются все условия, раз уж они равносильны, но достаточно доказать лишь одно из них):

  1. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса).
  2. В каждой точке выполняются условия Коши — Римана и Здесь и — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.)
  3. Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши).
  4. Функция является голоморфной в области . То есть комплексно дифференцируема в каждой точке .

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.

Важное отличие голоморфной функции от аналитической функции действительного аргумента заключается в том, что из комплексной дифференцируемости комплексной функции следует ее аналитичность (или голоморфность) просто согласно определению, тогда как из дифференцируемости действительной функции действительного аргумента ее аналитичность не следует. Это означает, в частности, что дифференцируемая функция при расширении на комплексную плоскость может перестать быть таковой.

Верность признака может быть доказана, исходя из следующих соображений. Голоморфная функция равна своему ряду Тейлора в области аналитичности просто по определению. В этой области также пролегает промежуток действительной оси, содержащий в себе точку . Значит, голоморфная функция равна своему ряду Тейлора в частности только для этих действительных значений промежутка. Если рассматривать еще и только действительные значения такой функции, то получится действительная функция действительного аргумента, равная своему ряду Тейлора.

При этом аналитичность в точке расширенной функции устанавливается однозначно и достаточно просто, например, с помощью проверки условий Коши-Римана. Например, с помощью признака аналитичности может быть достаточно просто установлена аналитичность функции Коши во всех точках, кроме , тогда как, пользуясь одним только критерием аналитичности, это сделать довольно сложно.

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править вики-текст]

  • Экспонента:
  • Натуральный логарифм: для всех
  • Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где
    • Квадратный корень: для всех
    • для всех
    • Конечный геометрический ряд: для всех
  • Тригонометрические функции:
    • Синус:
    • Косинус:
    • Тангенс: для всех где  — числа Бернулли
    • Секанс: для всех где  — числа Эйлера
    • Арксинус: для всех [5]
    • Арккосинус: для всех
    • Арктангенс: для всех
  • Гиперболические функции:
    • для всех
    • для всех
    • для всех

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править вики-текст]

Пусть функция имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор

.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции по степеням и в окрестности точки будет иметь вид

где  — остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

Формула Тейлора для большого числа переменных[править | править вики-текст]

Для разложения в ряд Тейлора функции переменных , которая в некоторой окрестности точки имеет полные производные вплоть до -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

Тогда разложение функции в ряд Тейлора по степеням в окрестности точки имеет вид

где  — m-тый член ряда.

Ряд Тейлора для большого числа переменных может быть также записан, как

,

где

Пример разложения в ряд Тейлора функции большого числа переменных[править | править вики-текст]

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных , и в окрестности точки до второго порядка малости. Оператор T будет иметь вид

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

Учитывая, что

получим

Например, при ,

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
  2. Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
  3. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
  4. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
  5. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой где

Литература[править | править вики-текст]