Гипотеза Чебышёва

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Чебышёва (смещение Чебышёва) — теоретико-числовая гипотеза, выдвинутая Пафнутием Чебышёвым в 1853 году: доля простых чисел, дающих остаток 3 при делении на 4, незначительно, но устойчиво превышает долю простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4. Иначе говоря, для произвольно выбранного большого числа суммарное количество простых чисел вида , таких что , будет с большой вероятностью больше суммарного количества простых чисел вида [1]. Доказана только в предположении выполнения некоторой усиленной формы гипотезы Римана.

Если  — число простых вида , не превышающих (по аналогии с функцией распределения простых чисел), то в соответствии с теоремой о распределении простых чисел, распространённой на арифметическую прогрессию:

.

То есть первая половина простых чисел должна быть вида , и другая — . Может казаться, что случаи и случаи должны встречаться в 50 % всех исходов каждый; но это противоречит эмпирическим свидетельствам — последний случай справедлив для всех простых , кроме 5, 17, 41 и 461, для которых .

В общем случае, если и  — взаимно простые целые числа, , где первое число является квадратичным остатком, а второе число не является квадратичным остатком по модулю , тогда по эмпирическим наблюдениям случается чаще, чем в противоположном случае. Общий случай также доказан в предположении справедливости сильной формы гипотезы Римана. Однако предположение 1962 года[2] о том, что плотность простых чисел для которых выполняется равна 1, оказалось ложным: они имеют логарифмическую плотность, примерно равную 0,9959[3].

Примечания[править | править код]

  1. Айгнер М. Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. — Мир, 2006. — 256 с. — ISBN 5-03-003690-3.
  2. S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory,I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299—314
  3. Rubinstein—Sarnak, 1994.

Ссылки[править | править код]

  • P. L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
  • Granville, Andrew; Martin, Greg. Prime number races (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 2006. — Vol. 113. — P. 1—33. — JSTOR 27641834.
  • J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159—171.
  • Rubinstein, M.; Sarnak, P. Chebyshev’s bias (англ.) // Experimental Mathematics[en] : journal. — 1994. — Vol. 3. — P. 173—197. — doi:10.1080/10586458.1994.10504289.
  • Weisstein, Eric W. Chebyshev Bias (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.