Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория[править | править код]

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения , связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней уравнение не имеет решения в натуральных числах .

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение

не имеет решения в натуральных числах, если , за исключением тривиального случая, когда корни в левой части уравнения являются перестановкой корней в правой части уравнения. Такие уравнения можно обозначить тройками чисел [1].

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера[2]:

Для первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году.[3] Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:

Однако для гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза[править | править код]

В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж (англ.) предположили[4], что уравнение

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если .

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая и отсутствие решений для .

Поиск решений уравнений для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для , но и для . Поиском решений для различных занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[5] и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + n[править | править код]

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:[6]

(4, 2, 2)[править | править код]

, бесконечно много решений.

(4, 1, 3)[править | править код]

, бесконечно много решений.

(5, 1, 4)[править | править код]

, известно 2 решения.

(5, 2, 3)[править | править код]

, известно 1 решение.

(6, 3, 3)[править | править код]

, бесконечно много решений.

(8, 3, 5)[править | править код]

, известно 1 решение.

(8, 4, 4)[править | править код]

, известно 1 решение.

Некоторые решения для (k, k, 1)[править | править код]

k = 3[править | править код]

.

k = 4[править | править код]

(R. Norrie, 1911)[4]

k = 5[править | править код]

(Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)[4]

k = 6[править | править код]

Решения неизвестны.

k = 7[править | править код]

(M. Dodrill, 1999)

k = 8[править | править код]

(Scott Chase, 2000)

k ≥ 9[править | править код]

Решения неизвестны.

Примечания[править | править код]

  1. Сам Эйлер рассматривал только случай (k, m, 1).
  2. L. J. Lander, T. R. Parkin. Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1966. — Vol. 72. — P. 1079. — doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
  3. Noam Elkies. On A4 + B4 + C4 = D4 (рум.) // Mathematics of Computation  (англ.). — 1988. — Т. 51, nr. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — JSTOR 2008781.
  4. 1 2 3 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkin; Selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers (англ.) // Mathematics of Computation  (англ.) : journal. — 1967. — Vol. 21, no. 99. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. — JSTOR 2003249.
  5. EulerNet. Дата обращения: 16 августа 2015. Архивировано 9 декабря 2013 года.
  6. Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]