Гипотеза Эрдёша — Грэма

Гипотеза Эрдёша — Грэма — предположение в комбинаторной теории чисел относительно проблемы разбиения множества целых чисел, больших единицы, на конечное число подмножеств, одно из которых можно использовать для образования египетской дроби, представляющей единицу. Эрдёш и Грэм высказали предположение, что для любого $r>0$ и любой $r$ -раскраски целых чисел, больших единицы, имеется конечное одноцветное подмножество $S$ этих целых чисел, такое что:

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1

,

и максимальный элемент множества $S$ можно ограничить значением $b^{r}$ с некоторой константой $b$ , независимой от $r$ . Известно, что для верности этого утверждения необходимо, чтобы $b$ было не меньше числа $e$ .

Гипотеза доказана Эрнестом Крутом (англ. Ernest S. Croot, III) в 2003 году, установленная оценка $b$ очень велика — число должно быть не больше $e^{167000}$ . Результат Крута вытекает из более общей теоремы, утверждающий о существовании представления единицы в виде египетской дроби для множеств $C$ гладких чисел в интервалах вида $[X,X^{1+\delta }]$ , где $C$ содержит достаточно много чисел, сумма обратных величин которых не меньше шести. Гипотеза Эрдёша — Грэма выводится из этого результата путём нахождения интервала, в котором сумма обратных величин всех гладких чисел будет как минимум $6r$ . Таким образом, если целые числа $r$ -раскрашены, должно существовать одноцветное подмножество $C$ , удовлетворяющее условию теоремы Крута.