Египетские дроби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов[1]). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История[править | править код]

Древний Египет[править | править код]

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

D21

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

D21
Z1 Z1 Z1
D21
V20

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Aa13
D22
D23

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:
D21
V1 V1 V1
V20 V20
V20 Z1

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье[править | править код]

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи[править | править код]

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь разлагается на два слагаемых:

Здесь  — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а  — (положительный) остаток от деления −n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению

Современная теория чисел[править | править код]

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

  • В конце XX века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более
(Tenenbaum & Yokota 1990) и с числом слагаемых не более
(Vose 1985).
  • Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого
Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом[en] в 2003 году.

Открытые проблемы[править | править код]

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешённых математических проблем.

Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех nN существует разложение

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю[источник не указан 97 дней].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]