Дискретным преобразованием А́беля называют следующее тождество:
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
a
n
B
n
−
a
m
B
m
−
1
−
∑
k
=
m
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
,
{\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},}
где
n
⩾
m
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant m\geqslant 1}
(
a
k
)
,
(
b
k
)
,
(
B
k
)
{\displaystyle (a_{k}),(b_{k}),(B_{k})}
(
k
∈
N
)
{\displaystyle (k\in \mathbb {N} )}
B
k
=
b
1
+
b
2
+
…
+
b
k
{\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}}
B
0
=
0
{\displaystyle B_{0}=0}
норвежского математика Нильса Хенрика Абеля . В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле .
Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям .
Имеем
∑
k
=
m
n
a
k
b
k
=
∑
k
=
m
n
a
k
(
B
k
−
B
k
−
1
)
=
=
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
1
=
=
∑
k
=
m
n
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
−
1
n
−
1
a
k
+
1
B
k
=
=
a
n
B
n
+
∑
k
=
m
n
−
1
a
k
B
k
−
∑
k
=
m
n
−
1
a
k
+
1
B
k
−
a
m
B
m
−
1
=
=
a
n
B
n
−
a
m
B
m
−
1
−
∑
k
=
m
n
−
1
(
a
k
+
1
−
a
k
)
B
k
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}}
что и требовалось доказать.
