Доведение до абсурда

Джон Петти. «Редукцио ад абсурдум» (Reductio Ad Absurdum ‘Доведение до абсурда’).

Доведение до абсурда (лат. reductio ad absurdum), приведение к нелепости — логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в вытекающих из него следствиях обнаруживается противоречие.

В другом источнике указано, что Reductio ad absurdum — опровержение положения путём выведения из него явно ложных и невозможных заключений. Апагогическое доказательство — то же, что reductio ad absurdum.

В математической логике

Метод приведения к абсурду используется в математической логике в виде умозаключения. Если требуется доказать истинность некоторого утверждения $A$, то образуют отрицание этого утверждения ${\overline {A}}$ и находят такое утверждение $B$, что оказывается возможным одновременно доказать выводимости ${\overline {A}}\vdash B$ и ${\overline {A}}\vdash {\overline {B}}$, то есть прийти к абсурду. На основании этого делают логическое заключение, что утверждение $A$ истинно.

Метод приведения к абсурду основан на тождественно истинном высказывании: $(({\overline {A}}\Rightarrow B)\land ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}))\Rightarrow A$. Следовательно, формула $A$ выводима из формул ${\overline {A}}\Rightarrow B$ и ${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$.

Риторический приём

Необходимо различать логическое безэмоциональное упрощение высказывания и приём пропаганды, когда софист опровергает мнение, искусственно усиленное до абсурда. Также абсурдность обсуждаемого высказывания должна оцениваться в контексте цели беседы (решаемой проблемы).^{[уточнить]}

Примеры

• Земля не может быть плоской; в противном случае мы бы обнаружили, что люди падают с края. Пример утверждает, что отрицание предпосылки привело бы к нелепому выводу вопреки свидетельству наших чувств. Доказательство от абсурдного будет выглядеть следующим образом. Предположим, что Земля плоская. Тогда, если бы кто-то подошёл к краю, он бы упал. Однако в реальности никто никогда не наблюдал края Земли и не сообщал о падениях с него. Это противоречие между тем, что должно было бы быть, и тем, что есть, указывает на ложность исходного предположения. Следовательно, Земля не плоская.
• Нет наименьшего положительного рационального числа, потому что если бы оно было, то его можно было бы разделить на два, чтобы получить меньшее. В данном случае доказательство от абсурдного должно выглядеть так: когда наименьшего положительного рационального числа не существует, то происходит парадоксальное событие — из этого числа появляется новое, ещё более маленькое, что невозможно, значит, такое рациональное число не существует.
• В 2011 году власти Австрии разрешили пастафарианину Нико Альму сфотографироваться на водительское удостоверение с дуршлагом на голове как религиозным головным убором. Нико Альм подал соответствующее заявление тремя годами ранее, тем самым используя аргумент reductio ad absurdum (сведение к абсурду) против разрешения мусульманам фотографироваться на документы в хиджабах. Так как фотографии с головными уборами разрешены в Австрии только из религиозных побуждений, он обосновал свой поступок принадлежностью к пастафарианству. «Моя главная цель — заставить людей задуматься над адекватностью системы», — заявил он.

Литература

• Reductio ad absurdum // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Апагогия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Ад-абсурдум // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Тимофеева И. Л. Математическая логика. Курс лекций: Учеб. пособие для студентов вузов / Ответств. ред. Н. В. Валуева. — 2-е изд., перераб. — М. : КДУ, 2007. — 304 с. — 1000 экз. — ББК 22.12я73. — УДК 510.6(075.8). — ISBN 978-5-98227-307-9.
• Тимофеева И. Л. Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова ; под ред. В. Л. Матросова. — М. : Издательский центр «Академия», 2011. — 240 с. — 1000 экз. — ББК 22.1я73. — УДК 51 (075.8). — ISBN 978-5-7695-7960-8.
• Клини С. К. Введение в метаматематику. Пер. с англ. / под ред. В. А. Успенского. — М. : Издательство иностранной литературы, 1957. — 528 с.