Задача Бернштейна

Задача Бернштейна — задача о графике функции, являющимся минимальной поверхностью. Названа в честь Сергея Натановича Бернштейна, решившего 2-мерный случай этой задачи в 1914 году.

Задача Бернштейна оказалась тесно связанной с вопросом существования негладких минимальных гиперповерхностей в соответственной размерности.

Формулировка

При каких $n$ график функции, определённой на всём $\mathbb {R} ^{n}$, являющийся минимальной поверхностью в $\mathbb {R} ^{n+1}$, обязан являться плоским?

Ответ: это верно при $n\leqslant 7$ и неверно при $n\geqslant 8$. Соответствующий пример функции $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ можно найти среди функций вида

$f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u,v)$,

где

$u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}},\quad {\text{и}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}}.$

Замечания

Задача Бернштейна оказалась напрямую связана с вопросом существования в $\mathbb {R} ^{n}$ неплоского конуса, минимизирующего площадь. Конкретным примером такой гиперповерхности является поверхность

$\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}$.

История

• В 1914 году, Бернштейн доказал, что утверждение задачи верно при $n=2$. (В той же статье была доказана теорема Бернштейна о седловом графике.)
• В 1962 году Флеминг дал другое доказательство теоремы Бернштейна, выводя его из того, что не существует неплоских конусов, минимизирующих площадь, в $\mathbb {R} ^{3}$.
• В 1965 году де Джорджи показал, что если в $\mathbb {R} ^{n}$ нет минимизирующих площадь неплоских конусов, то для $n$ верен аналог теоремы Бернштейна. В частности, отсюда следовал случай $n=3$.
• В 1966 году Альмгрен доказал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в $\mathbb {R} ^{4}$, и таким образом, обобщил теорему Бернштейна на $n=4$.
• В 1968 году Саймонс показал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в $\mathbb {R} ^{7}$ и, таким образом, обобщил теорему Бернштейна на $n\leqslant 7$.
  • Он также привел примеры локально устойчивых конусов в $\mathbb {R} ^{8}$, но не смог доказать, что они минимизируют площадь.
• В 1969 году Бомбиери, де Джорджи и Джусти доказали, что конусы Саймонса в самом деле минимизирующие, и что в $\mathbb {R} ^{n+1}$ при $n\geqslant 8$ существуют графики, которые являются минимальными, но не плоскими.
  • В сочетании с результатом Саймонса, это полностью решает задачу Бернштейна.