Задача Бернштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Задача Бернштейна — задача о графике функции, являющимся минимальной поверхностью. Названа в честь Сергея Натановича Бернштейна, решившего 2-мерный случай этой задачи в 1914 году.

Задача Бернштейна оказалась тесно связанной с вопросом существования негладких минимальных гиперповерхностей в соответственной размерности.

Формулировка[править | править код]

При каких график функции, определённой на всём , являющийся минимальной поверхностью в , обязан являться плоским?

Ответ: это верно при и неверно при . Соответствующий пример функции можно найти среди функций вида

,

где

Замечания[править | править код]

Задача Бернштейна оказалась напрямую связана с вопросом существования в неплоского конуса, минимизирующего площадь. Конкретным примером такой гиперповерхности является поверхность

.

История[править | править код]

  • В 1914 году, Бернштейн доказал, что утверждение задачи верно при .[1]
  • В 1962 году Флеминг[en] дал другое доказательство теоремы Бернштейна, выводя его из того, что не существует неплоских конусов, минимизирующих площадь, в .[2]
  • В 1965 году де Джорджи[en] показал, что если в нет минимизирующих площадь неплоских конусов, то для верен аналог теоремы Бернштейна. В частности, отсюда следовал случай .[3]
  • В 1966 году Алмгрен[en] доказал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в , и таким образом, обобщил теорему Бернштейна на .
  • В 1968 году Саймонс показал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в и, таким образом, обобщил теорему Бернштейна на .[4]
    • Он также привел примеры локально устойчивых конусов в , но не смог доказать, что они минимизируют площадь.
  • В 1969 году Бомбиери, де Джорджи[en] и Джусти доказали, что конусы Саймонса в самом деле минимизирующие, и что в при существуют графики, которые являются минимальными, но не плоскими.[5]
    • В сочетании с результатом Саймонса, это полностью решает задачу Бернштейна.

Примечания[править | править код]

  1. Bernstein, S.N. (1915–1917), "Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Math. Kharkov Т. 15: 38–45  German translation in Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — Т. 26: 551–558, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01475472 
  2. Fleming, Wendell H. (1962), "On the oriented Plateau problem", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II Т. 11: 69–90, ISSN 0009-725X, DOI 10.1007/BF02849427 
  3. De Giorgi, Ennio (1965), "Una estensione del teorema di Bernstein", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) Т. 19: 79–85, <http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1965_3_19_1_79_0> 
  4. Simons, James (1968), "Minimal varieties in riemannian manifolds", Annals of Mathematics. Second Series Т. 88: 62–105, ISSN 0003-486X 
  5. Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio & Giusti, E. (1969), "Minimal cones and the Bernstein problem", Inventiones Mathematicae Т. 7: 243–268, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01404309