Задача Бюффона о бросании иглы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия геометрической вероятности[en]. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа Пи вероятностными методами.

Суть задачи[править | править код]

Суть метода была в бросании иглы длиной на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии друг от друга (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Метод Бюффона

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что ) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

, где

  •  — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
  •  — угол иглы относительно прямых.

При условии, что получается решение: . Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы[1]. Результаты представлены в следующей таблице:[2]

Число бросаний Число пересечений Длина иглы Расстояние между прямыми Вращение Значение Пи Ошибка
Первая попытка 500 236 3 4 отсутствует 3.1780 −0.03640734
Вторая попытка 530 253 3 4 присутствует 3.1423 −0.00070734
Третья попытка 590 939 5 2 присутствует 3.1416 +0.00000734

Комментарии:

  • Вращение плоскости применялось[2] (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
  • В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Примечания[править | править код]

  1. Math Surprises: An Example (англ.)
  2. 1 2 A.Hall. On an experimental determination of Pi // The Messenger of Mathematics. — 1872. — Vol. 2. — P. 113-114.

Литература[править | править код]

  • Федотов Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. — М.: Радио и связь, 1990. — 142 с.