Математическое ожидание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математи́ческое ожида́ние — понятие среднего значения вероятностей. В англоязычной литературе обозначается через \mathbb{E}[X][1] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — M[X] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение \mu.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P}) и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, X\colon\Omega \to \mathbb{R}измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от X по пространству \Omega, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или \mathbb{E}[X].

M[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, \mathbb{P}(d\omega).

Основные формулы для математического ожидания[править | править вики-текст]

M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x);  x \in \mathbb R.

Математическое ожидание дискретного распределения[править | править вики-текст]

\mathbb{P}(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_{i=1}^{\infty} p_i = 1,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

M[X]=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i\, p_i.

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править вики-текст]

  • Если X — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей
\mathbb{P}(X=j) = p_j,\; j=0,1,...;\quad \sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности \{p_i\}

P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k

как значение первой производной в единице: M[X] = P'(1). Если математическое ожидание X бесконечно, то \lim_{s\to 1}P'(s)=\infty и мы будем писать P'(1)=M[X]=\infty

Теперь возьмём производящую функцию Q(s) последовательности «хвостов» распределения \{q_k\}

q_k=\mathbb{P}(X>k)=\sum_{j=k+1}^\infty{p_j};\quad Q(s)=\sum_{k=0}^\infty\;q_k s^k.

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P(s) свойством: Q(s)=\frac{1-P(s)}{1-s} при |s|<1. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

M[X]=P'(1)=Q(1)

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения[править | править вики-текст]

M[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx.

Математическое ожидание случайной величины[править | править вики-текст]

  • Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательным законом, определим следующим образом:

m_t=\int_{-\infty}^{+\infty}t f(t)dx=\int_{-\infty}^{0}t\cdot 0\cdot dx + \int_{0}^{\infty}t\lambda e^{{-\lambda} t} dt=\int_{0}^{\infty} t {\lambda} e^{{-\lambda}t}dt

  • Полученный интеграл интегрируем частями. Формула интегрирования частями для определенного интеграла имеет вид:

\int_{a}^{b}udv=(uv)\vert_{a}^{b} - \int_{a}^{b}vdu

  • Обозначим u=-t, dv=-\lambda e^{{-\lambda}t}dt, тогда du=-dt, v=e^{{-\lambda}t}.
  • Интегрируем частями:

\int_{0}^{\infty}t\lambda e^{{-\lambda}t}dt=[\underbrace{-t}_{u}\cdot \underbrace{e^{-\lambda t}}_{v}]_{0}^{\infty}-\biggl(\underbrace{-\int_{0}^{\infty} \underbrace{e^{-\lambda t}}_{v} dt}_{\int_{a}^{b}vdu}\biggr)=\underbrace{\lim_{t \to \infty} {-t \over e^{\lambda t}}}_{0}-\underbrace{\lim_{t \to 0} (-te^{-\lambda t})}_{0}-{e^{-\lambda t} \over \lambda} \vert_{0}^{\infty}=\underbrace{-\lim_{t \to \infty}{e^{-\lambda t} \over \lambda}}_{0}+\underbrace{\lim_{t \to 0}{e^{-\lambda t} \over \lambda}}_{1 \over \lambda}={1 \over \lambda},         то есть m_x={1 \over \lambda}.

Примечание. Вычисление предела \lim_{t \to \infty}{-t \over {e^{-\lambda t}}}         осуществляется по Правилу Лопиталя.

Математическое ожидание случайного вектора[править | править вики-текст]

Пусть X=(X_1,\dots,X_n)^{\top}\colon\Omega \to \mathbb{R}^n — случайный вектор. Тогда по определению

M[X]=(M[X_1],\dots,M[X_n])^{\top},

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править вики-текст]

Пусть g\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}борелевская функция, такая что случайная величина Y = g(X) имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

M\left[g(X)\right] = \sum\limits_{i=1}^{\infty} g(x_i) p_i,

если X имеет дискретное распределение;

M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x) f_X(x)\, dx,

если X имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение \mathbb{P}^X случайной величины X общего вида, то

M\left[g(X)\right] = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)\, \mathbb{P}^X(dx).

В специальном случае, когда g(X)=X^k, Математическое ожидание M\left[g(X)\right]=M[X^k] называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания[править | править вики-текст]

  • Математическое ожидание числа есть само число.
M[a] = a
a \in \mathbb{R} — константа;
  • Математическое ожидание линейно, то есть
M[aX+bY] = aM[X]+bM[Y],
где X,Y — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а a,b\in \mathbb{R} — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если 0 \leqslant X \leqslant Y почти наверное, и Y — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X также конечно, и более того
0 \leqslant M[X] \leqslant M[Y];
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X = Y почти наверное, то
M[X]=M[Y].
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X,Y равно произведению их математических ожиданий
M[XY] = M[X]M[Y].

Дополнительные свойства математического ожидания[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

M[X] = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

M[X] = \int\limits_{a}^b\!\frac{x}{b-a}\, dx = \frac{a+b}{2}.
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_X(x)\, dx = \infty,

то есть математическое ожидание X не определено.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Е. Б. Дынкина. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.