Математическое ожидание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины (распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей)[1].

  • В англоязычной литературе обозначается через [2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert),
  • в русской — (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»).
  • В статистике часто используют обозначение .

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Основные формулы для математического ожидания[править | править вики-текст]

.

Математическое ожидание дискретного распределения[править | править вики-текст]

,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

.

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править вики-текст]

  • Если  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения[править | править вики-текст]

.

Математическое ожидание случайного вектора[править | править вики-текст]

Пусть  — случайный вектор. Тогда по определению

,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править вики-текст]

Пусть  — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если имеет дискретное распределение;

,

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

.

В специальном случае, когда , Математическое ожидание называется -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания[править | править вики-текст]

  • Математическое ожидание числа есть само число.
 — константа;
  • Математическое ожидание линейно, то есть
,
где  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а  — произвольные константы;
  • Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того
;
  • Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то
.
  • Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
.

Дополнительные свойства математического ожидания[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

  • Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид и математическое ожидание равно
.
,

то есть математическое ожидание не определено.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  2. А. Н. Ширяев. 1 // «Вероятность». — М.: МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.