Инвариант Шварца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Инвариантом Шварца, производной Шварца или шварцианом (иногда используется обозначение ) аналитической функции называется дифференциальный оператор вида

Свойства[править | править вики-текст]

  • Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если обычная производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
  • Если — аналитическая функция, а — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение , то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,

Таким образом выражение

инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.

  • Более общим образом, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g
  • Введём функцию от двух комплексных переменных

Рассмотрим выражение

Производная Шварца выражается формулой

  • Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z

Выражение имеет следующий смысл: мы рассматриваем как координату, а как функцию. Затем вычисляем Шварциан . Мы предполагаем, что поэтому по теореме об обратной функции действительно является локальной координатой, а (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением)

Уравнение для инварианта Шварца[править | править вики-текст]

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида . Тогда его два линейно независимых решения и удовлетворяют соотношению .