Инвариант Шварца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Инвариантом Шварца, производной Шварца или шварцианом (Sf)(z) (иногда используется обозначение \{f,\;z\}) аналитической функции f(z) называется дифференциальный оператор вида

(Sf)(z)=\frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если обычная производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
  • Если f — аналитическая функция, а g — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение (Sf)(z)=(Sg(f))(z), то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,
(S(f \circ g))(z) = (Sf)(g(z)) \cdot g'(z)^2.

Таким образом выражение

 (S(f))(z) \  dz^{\otimes 2}

инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.

  • Более общим образом, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g
S(f \circ g) = \left( S(f)\circ g\right ) \cdot(g')^2+S(g).
  • Введём функцию от двух комплексных переменных
F(z,w)= \log \left ( \frac{f(z)-f(w)}{z-w} \right ),

Рассмотрим выражение

 \frac{\partial^2 F(z,w)}{\partial z \, \partial w} = {f^\prime(z)f^\prime(w)\over(f(z)-f(w))^2}-{1\over(z-w)^2},

Производная Шварца выражается формулой

 (Sf)(z)= \left. 6 \cdot {\partial^2 F(z,w)\over \partial z \partial w}\right\vert_{z=w}.
  • Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z
(Sf)(z) = -\left(\frac{df}{dz}\right)^2 (Sz)(f)

Выражение (Sz)(f) имеет следующий смысл: мы рассматриваем f как координату, а z(f) как функцию. Затем вычисляем Шварциан z(f). Мы предполагаем, что  f' \neq 0 поэтому по теореме об обратной функции f действительно является локальной координатой, а  z'(f) = 1 / f'(z) (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением)

Уравнение для инварианта Шварца[править | править вики-текст]

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида \frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z)f(z)=0. Тогда его два линейно независимых решения f_1 и f_2 удовлетворяют соотношению \left(S\frac{f_1}{f_2}\right)(z)=2Q(z).