Количество информации

Количество информации в теории информации – это количество информации в одном случайном объекте относительно другого.

Пусть $x$ и $y$ – случайные величины, заданные на соответствующих множествах $X$ и $Y$. Тогда количество информации $x$ относительно $y$ есть разность априорной и апостериорной энтропий:

$I(x,y)=H(x)-H(x|y)$,

где

— энтропия, а

$H(x|y)=-\sum _{y\in Y}p(y)\sum _{x\in X}p(x|y)\log _{2}p(x|y)$

— условная энтропия, в теории передачи информации она характеризует шум в канале.

Свойства энтропии

Для энтропии справедливы свойства:

$0\leqslant H(x)\leqslant \ln(m)$,

где $m$ количество элементов множества $X$.

$H(x)=0$, если один из элементов множества реализуется с вероятностью 1, а остальные, соответственно, 0, в силу того, что $1\ln 1=0$ и $0\ln 0=0$.

Максимум значения энтропии $H(x)=\ln(m)$ достигается, когда все $p(x)=1/m$, т.е. все исходы равновероятны.

Для условной энтропии справедливы свойства:

$0\leqslant H(x|y)\leqslant H(x)$,

При этом, $H(x|y)=0$, если отображение $Y$ в $X$ однозначное, т.е. $\forall y\exists x\colon p(x|y)=1$.

Максимум значения условной энтропии $H(x|y)=H(x)$ достигается, когда $x$ и $y$ - независимые случайные величины.

Свойства количества информации

Для количества информации справедливы свойства:

$I(x,y)=I(y,x),$ как следствие теоремы Байеса.

$I(x,y)\geqslant 0,$

$I(x,y)=0,$ если $x$ и $y$ – независимые случайные величины.

$I(x,x)=H(x).$

Последнее свойство показывает, что количество информации совпадает с информационной энтропией, если компонента потери информации (шум) равна нулю.

Литература

• Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация. — М., 1973.