Комплекс Кошуля

Комплекс Кошуля был впервые введён в математике Жаном-Луи Кошулем, чтобы определить теорию когомологий алгебр Ли. Впоследствии он оказался полезной общей конструкцией гомологической алгебры. Его гомологии могут быть использованы для того, чтобы определить, является ли последовательность элементов кольца M-регулярной, и, как следствие, он может быть использован ля того, чтобы доказать базовые свойства глубины модуля или идеала.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо и E — свободный R-модуль конечного ранга r. Мы обозначаем через $\wedge ^{i}E$ i-ю внешнюю степень E. Тогда для R-линейного отображения $s:E\to R$ комплекс Кошуля, ассоциированный с s — это цепной комплекс R-модулей

$K_{\bullet }(s):0\to \wedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}E\to \cdots \to \wedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0,$

в котором дифференциал d_k задаётся по правилу: для любых e_i из E

$d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}$

Надстрочный знак ${\widehat {\cdot }}$ означает, что сомножитель пропускается.

Заметим, что $\wedge ^{1}E=E$ и $d_{1}=s$. Заметим также, что $\wedge ^{r}E\simeq R$; этот изоморфизм не канонический (например, выбор формы объёма в дифференциальной геометрии — это пример такого изоморфизма).

Если E = R^r (то есть выбран базис), то задание R-линейного отображения s: R^r → R эквивалентно заданию конечной последовательности s₁, …, s_r элементов R (вектор-строки) и в этом случае обозначают $K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s).$

Если M — конечно порождённый R-модуль, полагают

$K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M$.

i-е гомологии комплекса Кошуля

$\operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})$

называются i-ми гомологиями Кошуля. Например, если E = R^r и $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ — вектор-строка из элементов R, то дифференциал комплекса Кошуля $d_{1}\otimes 1_{M}$ есть

$s:M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}$

и

$\operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.$

Также

$\operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).$

Комплексы Кошуля малых размерностей

Если даны элемент x кольца R и R-модуль M, умножение на x даёт гомоморфизм R-модулей

$M\to M.$

Если рассматривать его как цепной комплекс (сосредоточенный в степенях 1 и 0), он обозначается $K(x,M)$. Его гомологии равны

$H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)=\{m\in M,xm=0\},$

Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии хранят основную информацию о свойствах умножения на x.

Цепной комплекс K_•(x) называется комплексом Кошуля элемента x кольца R. Если x₁, x₂, …, x_n — элементы R, комплекс Кошуля последовательности x₁, x₂, …, x_n, обычно обозначаемый K_•(x₁, x₂, …, x_n), есть тензорное произведение $K_{\bullet }(x_{1})\otimes K_{\bullet }(x_{2})\otimes \cdots \otimes K_{\bullet }(x_{n})$ комплексов Кошуля для каждого i.

Комплекс Кошуля для пары $(x,y)\in R^{2}$ имеет вид

$0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,$

где матрицы $d_{1}$ и $d_{2}$ задаются как

$d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}$ and

$d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.$

Тогда циклы степени 1 — это в точности линейные соотношения между элементами x и y, тогда как границы — это тривиальные соотношения. Первые гомологии Кошуля H₁(K_•(x, y)), таким образом, описывают соотношения по модулю тривиальных соотношений.

В случае, когда элементы x₁, x₂, …, x_n образуют регулярную последовательность, все высшие гомологии Кошуля зануляются.

Пример

Если k — это поле, X₁, X₂, …, X_d — неизвестные и R — это кольцо многочленов k[X₁, X₂, …, X_d], комплекс Кошуля K_•(X_i) последовательности X_i является конкретным примером свободной резольвенты R-модуля k.

Литература

• David Eisenbud, Commutative Algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8