Кривая Евдокса

График кривой Евдокса с a = 1

Кривая Евдокса (греческий: καμπύλη [γραμμή], что переводится как «кривая [линия]») — это кривая с уравнением в декартовых координатах

$x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),$

из которого исключается решение x = y = 0.

Альтернативные параметризации

В полярной системе координат кривая Евдокса имеет уравнение

$r=a\sec ^{2}\theta .$

Эквивалентно, кривая имеет параметрическое представление

$x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).$

История

Эту кривую четвёртой степени изучал греческий астроном и математик Евдокс Книдский (408—347 до нашей эры) в связи с классической задачей удвоения куба.

Свойства

Кривая Евдокса симметрична как относительно оси x, так и оси y. Она пересекает ось x в точках (±a,0). Кривая имеет точки перегиба

$\left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$

(четыре точки перегиба, по одной в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотически приближается к $x^{2}/a-a/2$ при $x\to \infty$, и, фактически, можно записать

$y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},$

где

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}$

является $n$-м числом Каталана.

Ссылки

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
• Weisstein, Eric W. Kampyle of Eudoxus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.