Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Условие устойчивости[править | править вики-текст]

Передаточная функция динамической системы может быть представлена в виде дроби

.

Устойчивость достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости . В правой полуплоскости их быть не должно. Если получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией , тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции . Выражение называется характеристическим уравнением системы.

Принцип аргумента Коши[править | править вики-текст]

Из теории функций комплексного переменного известно, что контур , охватывающий на -плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость ) при помощи функции таким образом, что получившийся контур будет охватывать центр -плоскости раз, причём , где  — число нулей, а  — число полюсов функции . Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура , а отрицательным — противоположное ему. ...

Формулировка критерия[править | править вики-текст]

Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:

  • участок, идущий вверх по оси , от до .
  • полуокружность радиусом , начинающаяся в точке и достигающая конца в точке по часовой стрелке.

Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы , в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции минус количество полюсов в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку , получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции . Заметив, что функция имеет такие же полюса, что и функция , а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:

Пусть  — замкнутый контур в комплексной плоскости,  — число полюсов , охваченных контуром , а  — число нулей , охваченных  — то есть число полюсов , охваченных . Получившийся контур в -плоскости, должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку раз, где .

Следствия критерия Найквиста-Михайлова:

  • Если разомкнутая система с передаточной функцией устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).
  • Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов в правой полуплоскости.
  • Количество дополнительных охватов (больше, чем ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Михайлов А. В. О новом подходе исследования замкнутых регулируемых систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8.
  • Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126-147.
  • Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4.