Лемма Соллертинского

Ле́мма Соллерти́нского — утверждение проективной геометрии.

Пусть $P$ — произвольная точка и $f$ — проективное преобразование. Тогда множество точек пересечения $l$ и $f(l)$, где $l$ — прямая, проходящая через $P$, есть коника, проходящая через точки $P$ и $f(P).$

Доказательство

Доказательство

Пусть $a$, $b$, $c$ — прямые, проходящие через точку $P$, $A$, $B$, $C$ — точки пересечения $a$ и $f(a)$, $b$ и $f(b)$, $c$ и $f(c)$. Пять точек $A$, $B$, $C$, $P$, $f(P)$ определяют конику, притом единственную. Пусть вторая точка пересечения прямой $d$, проходящей через $P$, с этой коникой, $D'$, а точка пересечения прямой $f(d)$ с этой коникой, $D''$. Тогда равны следующие двойные отношения: $(A;B;C;D')=(a;b;c;d)=(f(a);f(b);f(c);f(d))=(A,B,C,D'')$. Значит, $D'=D''$, то есть прямые $d$ и $f(d)$ переекаются на той же конике. В силу произвольности выбора прямой $d$ на ней лежат все такие точки пересечения, что и требовалось.

История

Лемма названа в честь петербургского математика Н. Соллертинского, использовавшего её при доказательстве теоремы Сонда́ в 1896 году. На самом деле это утверждение было известно до Соллертинского; приписывается оно ещё Якобу Штейнеру.

Частные случаи, обобщения и следствия

• Если $f$ — движение плоскости, сохраняющее ориентацию фигур, то полученная коника будет окружностью. Это равносильно теореме о вписанном угле.
• Если $f$ — движение плоскости, изменяющее ориентацию фигур, то полученная коника будет равносторонней гиперболой. Это следует из того, что описанная коника проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда она является равносторонней гиперболой.
• Двойственное к лемме Соллертинского утверждение звучит так:

Пусть $l$ — произвольная прямая и $f$ — проективное преобразование. Тогда все прямые $Pf(P)$, где $P$ — точка, лежащая на $l$, касаются коники, касающейся прямых $l$ и $f(l).$

• Обратно, всякое гармоническое соответствие двух прямых на плоскости (соответствие между их точками, сохраняющее двойные отношения) получается таким образом: выбирается коника $Q$, касающаяся обеих прямых $\ell ,\ell '$, в точке $x\in \ell$ проводится касательная к $Q$, отличная от $\ell$, и берется точка ее пересечения с $\ell '$.
• Если $\ell ,\ell '$ — две скрещивающиеся прямые в пространстве, и $f\colon \ell \to \ell '$ — соответствие, сохраняющее двойные отношения, то прямая $xf(x)$ заметает некую квадрику. Они будут составлять одно из двух семейств прямых на ней, а $\ell$ и $\ell '$ будут относиться к другому семейству.

Гипербола Киперта

• Пусть на сторонах произвольного треугольника $ABC$ построили во внешнюю (внутреннюю) сторону подобные равнобедренные треугольники $ABC'$, $ACB'$, $BCA'$. Тогда прямые $AA'$, $BB'$, $CC'$ пересекаются в одной точке, лежащей на описанной гиперболе, проходящей через центроид и ортоцентр — гиперболе Киперта.
• Если два треугольника ортологичны, причём центры ортологии совпадают, то они перспективны.
  • Это утверждение Соллертинский использовал при доказательстве теоремы Сонда.
  • Из него также следует, что если два треугольника полярны, то они перспективны.