Квадрика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ква́дрика или квадри́ка  — n-мерная гиперповерхность в n+1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x1, x2, ..., xn+1} евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид[1]

Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:

где x = {x1, x2, ..., xn+1} — вектор-строка, xT — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.

Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.

Квадрики в евклидовом пространстве[править | править код]

Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.

Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм.[2] Из них 5 являются невырожденными (то есть соответствующая им билинейная форма является невырожденной). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.[3]

Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве
Эллипсоид Ellipsoid Quadric.png
Эллиптический параболоид Paraboloid Quadric.Png
Гиперболический параболоид Hyperbolic Paraboloid Quadric.png
Однополостный гиперболоид Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png
Двуполостный гиперболоид Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png

Аффинное и проективное пространство[править | править код]

Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве.[4] Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид невозможно перевести движением в эллипсоид ).

От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на а свободный член на Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид

Без ограничения общности можно считать, что матрица симметрична, то есть Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.

В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду

Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:

Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.

Произношение термина[править | править код]

  • В словарях приводятся различные ударения: ква́дрика[5][6] и квадри́ка[7][8].
  • В разговорном языке используется произношение ква́дрика[9][10][11]. Не известно примеров другого произношения.

Литература[править | править код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2, стр.795 (статья «Квадрика»). М.: Советская энциклопедия, 1979—1985.

Примечания[править | править код]

  1. Silvio Levy. geom.uiuc.edu Quadrics (англ.). Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press). Проверено 30 июля 2013.
  2. Sameen Ahmed Khan. Quadratic Surfaces in Science and Engineering (англ.). Bulletin of the IAPT, 2(11), 327—330 (November 2010). (Publication of the Indian Association of Physics Teachers). Проверено 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.
  3. Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
  4. П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275.
  5. Lohwater's A.J. Russian-english dictionary of the mathematical sciences. Edited by R.P.Boas. 1990. стр 155
  6. Русско-португальский и португальско-русский физико-математический словарь / В. В. Логвинов. М.:Рус.яз., 1989, стр.114
  7. Математический энциклопедический словарь, Москва, Советская энциклопедия, 1988, стр. 265.
  8. О. Е. Иванова и др.; отв. ред. В. В. Лопатин. Русский орфографический словарь: - 2-е изд., 2005, 943 с., стр.285
  9. «поверхности степени 2 называются ква́дриками» 21 min 55 sec - 22 min 05 sec (Летняя школа «Современная математика», 2015. Курс «Двадцать семь прямых».)
  10. «ква́дрика в проективном пространстве», 1 min - 1 min 05 sec (Научно-образовательный центр МИАН. Курс «Классическая алгебраическая геометрия», 2015/2016.)
  11. «пусть X - это ква́дрика, предположим, что на этой ква́дрике существует точка», 6 min 36 sec - 6 min 56 sec (Общеинститутский математический семинар Санкт-Петербургского отделения МИАН, 23 сентября 2010 г.)

См. также[править | править код]