Линейная древесность

Линейная древесность неориентированного графа — это наименьшее число линейных лесов, на которые может быть разбит граф. Здесь линейный лес — это ациклический граф с максимальной степенью два, то есть дизъюнктное объединение путей.

Нерешённые проблемы математики: Любой граф с максимальной степенью $\Delta$ имеет линейную древесность, не превосходящую $\lceil (\Delta +1)/2\rceil$?

Линейная древесность графа $G$ с максимальной степенью $\Delta$ всегда не меньше $\lceil \Delta /2\rceil$, поскольку каждый линейный лес может использовать только два из рёбер вершины максимальной степени. Гипотеза о линейной древесности Акиямы, Экзоо и Харари утверждает, чта это нижняя граница точна. Согласно этой гипотезе любой граф имеет линейную древесность, не превосходящую $\lceil (\Delta +1)/2\rceil$. Однако гипотеза остаётся недоказанной, и лучшая доказанная верхняя грань линейной древесности несколько выше, $\Delta /2+O(\Delta ^{2/3-c})$ с некоторой константой $c>0$ (согласно Ферберу, Фоксу и Джейну).

В регулярном графе линейная древесность не может быть равна $\Delta /2$, поскольку конечные точки любого пути в одном из линейных лесов не могут иметь две смежные вершины, использованные в этом лесе. Поэтому, для регулярных графов, из гипотезы о линейной древесности следует, что линейная древесность в точности равна $\lceil (\Delta +1)/2\rceil$.

Линейная древесность является вариацией древесности графа, минимального числа лесов, на которые могут быть разбиты рёбра графа. Исследовалась также линейная k-древесность, вариант линейной древесности, в которой любой путь в линейном лесе может иметь не более k рёбер.

В отличие от древесности, которая может быть установлена за полиномиальное время, задача установления линейной древесности NP-трудна. Даже распознавание графов с линейной древесностью два является NP-полной задачей. Однако для кубических графов и других графов с максимальной степенью три линейная древесность всегда равна двум, а разложение на два линейных леса может быть найдено за линейное время с помощью алгоритма, основанного на поиске в глубину.