Дизъюнктное объединение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из a и b элементов, будет содержать ровно a+b элементов, даже если сами множества пересекаются.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть \{A_i | i \in I\} — семейство множеств, перечисленных индексами из I. Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

\coprod_{i\in I}A_i = \bigcup_{i\in I}\{(x,i) | x \in A_i\}

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами (x, i). Таким образом i есть индекс, показывающий, из какого множества A_i элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств A_i канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

При \forall i, j \in I: i \neq j множества A_i^* и A_j^* не имеют общих элементов, даже если A_i \cap A_j \neq \varnothing. В вырожденном случае, когда множества A_i \forall i \in I равны какому-то конкретному A, дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества A и множества I, то есть

\coprod_{i\in I}A_i = A \times I.

Использование[править | править вики-текст]

Иногда можно встретить обозначение A + B для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

\sum_{i\in I}A_i.

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если C — это семейство множеств, то

\bigcup_{A \in C} A

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых A и B из C выполняется следующее условие:

A \neq B \implies A \cap B = \varnothing.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
  • Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.