Локально выпуклое пространство

Локально выпуклое пространство — линейное топологическое пространство с системой полунорм, удовлетворяющей некоторым условиям.

Определение

Линейное топологическое пространство $X$ называется локально выпуклым пространством, если существует семейство полунорм $\mu$ на $X$, удовлетворяющее двум условиям:

• Если $p(x)=0$ для каждого $p\in \mu$, то $x=0$.
• Если для произвольной точки $x_{0}$ пространства $X$, любой конечной системы полунорм $p_{1},...,p_{n}$ из $\mu$ и любой конечной системы положительных вещественных чисел $\epsilon _{1},...,\epsilon _{n}$ рассмотреть (выпуклые) множества, состоящие из элементов $x\in X$, удовлетворяющих условию $p_{i}(x-x_{0})<\epsilon _{i}$ с $i=1,...,n$, то все такие множества образуют базу топологии в $X$.

Свойства

• Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ точек локально выпуклого пространства $X$ сходится к $x\in X$ в том и только том случае, если для каждой полунормы $p\in \mu$ выполняется соотношение $\lim _{n\to \infty }p(x_{n}-x)=0$.

Литература

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.