Луч (геометрия)

Не следует путать с числовым лучом и радиусом.

Луч $k$, он же $AB$

Полупряма́я, или открытый луч, — множество всех точек $M$ прямой, которые находятся по одну сторону с некоторой точкой $B$ от некоторой точки $A$ на этой прямой (и не совпадают с $A$), другими словами, полупрямая — одна из двух частей, на которые делится прямая её произвольной точкой $A$. Точка $A$ определяет полупрямую и является границей полупрямой.

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупряма́я, — полупрямая, включающая свою границу, также называемую началом луча (луч выходит из этой точки). Конец у луча (полупрямой) отсутствует.

Полупрямая и луч отличаются друг от друга только включением своей границы (полупрямая её не включает, в отличие от луча). В устаревшей трактовке замкнутый луч также называли «полупрямой».

Полупрямая и луч — два вида бесконечных промежутков числовой прямой. Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году.

Как правило, луч (полупрямую) обозначают строчной латинской буквой, например $k$, или двумя прописными латинскими буквами, первая из которых — граница, а вторая — произвольная точка на полупрямой, например $AB$.

В рамках этой статьи определения «луч» и «полупрямая» взаимозаменяемы, за исключением случаев, когда указано обратное.

Свойства

Точка $x+a$ на луче

Для любого неотрицательного (в случае полупрямой, положительного) числа $a$ на заданном луче с началом $X$ существует единственная точка $A$, находящаяся на расстоянии $a$ от точки $X$.

Дополнительный луч

Произвольная точка $P$ на прямой делит её на две полупрямых — на прямой существуют точки $A$ и $B$, отличные от точки $P$, такие, что разные полупрямые, которым принадлежат эти точки, покрывают с точкой $P$ всю прямую и имеют своими границами точку $P$. Для каждого из двух таких лучей $k$ второй называется дополнительным лучом и обозначается ${\bar {k}}$.

Две точки $A\neq P$ и $B\neq P$ на одной прямой лежат на одном и том же луче с границей $P$ тогда и только тогда, когда $P\notin (AB)$, и лежат на дополнительных друг к другу лучах, когда $P\in (AB)$.

Сонаправленные лучи

Лучи $AC$ и $BC$ сонаправлены, $AC\upuparrows BC$. Лучи $BA$ и $BC$ противоположно направлены, $BA\uparrow \downarrow BC$

Лучи $k_{1}$ и $k_{2}$ сонаправлены, $k_{1}\upuparrows k_{2}$. Лучи $k_{1}$ и $k_{3}$ противоположно направлены, $k_{1}\uparrow \downarrow k_{3}$

Два луча на прямой $k_{1}$ и $k_{2}$, направленные в одну сторону, называются сонаправленными и обозначаются $k_{1}\upuparrows k_{2}$; противоположно направленные лучи обозначаются $k_{1}\uparrow \downarrow k_{2}$. Более формально, пересечение сонаправленных лучей — также луч, пересечение противоположно направленных — отрезок (в случае полупрямой, интервал). Один из двух сонаправленных лучей на прямой всегда является подмножеством другого.

На плоскости сонаправленные и противоположно направленные лучи определяются как лежащие на параллельных прямых и также направленные в одну или противоположные стороны; сонаправленные лучи принадлежат одной полуплоскости с границей, проходящей через их границы, а противоположно направленные — двум различным.

Из сонаправленности лучей $k_{1}\upuparrows k_{2}$ следует противоположная направленность лучей ${\bar {k_{1}}}\uparrow \downarrow k_{2}$.

Два луча противоположно направлены тогда и только тогда, когда они центрально симметричны относительно некоторой точки.

Свойство сонаправленности является транзитивным — если два луча одновременно сонаправлены третьему лучу, то они сонаправлены друг другу. Сонаправленность также является симметричным и рефлексивным отношением (следовательно, является отношением эквивалентности), а свойство противоположной направленности — симметричным и антирефлексивным.

Литература

• Александрова Н. В.. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник (рус.). — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 246 с., ил. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций (рус.) / под науч. рук. акад. А. Н. Тихонова. — 2-е изд. — М.: «Просвещение», 2014. — 383 с., ил. — Доп. тираж 50 000 экз. — ISBN 978-5-09-032008-5.
• Виленкин Н. Я., Нешков К. И., Шварцбурд С. И., Чесноков А. С., Семушин А. Д.. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы (рус.) / под ред. А. И. Маркушевича. — 8-е изд. — М.: «Просвещение», 1977. — 240 с., ил. — 1700 тыс. экз.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.. Математический словарь высшей школы: Общая часть (рус.) / под. ред. проф. Ю. С. Богданова. — Минск: «Высшая школа», 1984. — 527 с., ил. — 41 000 экз.
• Гусятников П. Б., Резниченко С. В.. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов (рус.). — М.: «Высшая школа», 1985. — 232 с., ил. — 50 000 тыс. экз.
• Киселёв М. А. Элементарная геометрия. Книга для учителя (рус.). — копия 12-е изд. (1931). — М.: «Просвещение», 1980. — 286 с., ил.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов = Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods (рус.) / пер. с англ. под ред. А. Н. Колмогорова. — 7-е изд., стереотип. — М.: Издательство МЦНМО, 2015. — 564 с., ил. — 2000 экз. — ISBN 978-5-4439-0628-7.
• Полупрямая // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) (рус.) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1975. — Т. 20 Плата — Проб. — С. 276. — 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт. — 630 тыс. экз.
• Полупрямая // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1984. — Т. 4 Ок—Сло. — Стб. 466. — 1216 стб., ил. — 148 900 экз.
• Полупрямая // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 474. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии // Энциклопедия элементарной математики (рус.) / гл. ред.: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин; редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 4 Геометрия. — С. 9—48. — 567 с., ил. — 20 000 экз.

Дополнительная литература

• Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables (англ.). — Amsterdam: University of Amsterdam, 2011. — V+260 p.